Re: Méthode de calcul mental

par Asperzebre Jeu 24 Mai 2018 - 23:20

Il n'y a pas de quoi être admiratif, je suis sur que vous êtes bien meilleurs que moi dans un tas d'autres domaines, autrement plus utiles dans la vie (compter vite de tête ça ne sert pas à grand chose, surtout à l'ère de la calculatrice).

Concernant la vitesse de la mémoire auditive par rapport à la mémoire visuelle, je suis bien d'accord pour dire qu'elle est très lente.
Je suis malheureusement incapable de faire appel à un 'calepin visuel', je ne sais pas visualiser d'images à mon gré.
Dans l'exemple du dernier calcul (que j'ai fait en 33 secondes), je pense qu'avec un 'calepin visuel' parfaitement maîtrisé et ne demandant aucun effort à être utilisé (ce dont je suis très loin de disposer), je mettrais environ 5 secondes, car mon temps 'réel' de calcul ne doit pas en être très loin, la grosse majorité du temps que j'utilise étant utilisée à répéter en boucle les nombres.

J'ai des petites astuces pour économiser du temps de 'paroles intérieures', en ne répétant que partiellement les nombres (par exemple pour 20502000-205020, je fais "vingt millons cinq cent deux mille" -> "trois cent deux" ->"deux cent quatre vingt dix sept" ->"vingt millons deux cent quatre vingt dix sept mille moins vingt")

Mais ça prend tout de même un temps non négligeable.
De plus, ça a un inconvénient majeur: ça nécessite un environnement sonore relativement calme, sinon je n'arrive pas à m'entendre penser, et suis incapable de faire mon calcul.

Je me retrouve souvent en grande difficulté pour faire des exercices en présence d'autres personnes, surtout si elles parlent: je ne parviens pas à ne pas les écouter, et je ne peux pas à la fois les écouter, et écouter mes paroles intérieures, donc je perds le fil de ma pensée.
C'est d'ailleurs valable pour un tas d'autres choses que le calcul mental, une personne parlant trop fort me réduit considérablement toutes mes capacités intellectuelles (en sa présence il me reste la pensée rapide, par concepts qui font 'tilt' dans la tête quasi-instantanément, mais ma capacité de raisonnement est bloquée, ce qui est très frustrant).

par Invité Jeu 24 Mai 2018 - 23:29

Oui, je connais ça aussi. de toutes façons, on a chacun sa façon de faire. On fait ce qu'on peut avec son cerveau.

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 0:13

34×78 = 100/3 × 78 + 2/3 × 78 = 7800/3 + 2×26 = 2600 + 52 = 2652 (Le calcul est beaucoup plus étrange à écrire qu'à penser)

538 × 247 = 540 × 250 - 2 × 250 - 538 × 3 = 135000 - 500 - (1500 + 114) = 135000 - 2114 = 132000 + 886 = 132886

3417 × 5936 = 3333 × 6000 + 84 × 6000 - 64 × 3200 - 64 × 210 - 64 * 7 = (20000000-2000) + 504000 - 204800 - 13440 - 448 = ...
... = 20000000 + 502000 - 204800 - 13440 - 448 = 20000000 + 297200 - 13888 = 20000000 + 283200 + 112 = 20283312^note

Les deux premiers de tête, pas le troisième j'étais un peu trop fatigué et distrait (mes deux chats jouaient à côté de moi), j'ai posé des étapes. Je n'ai pas chronométré, mais le premier c'est une poignée de seconde, le second une trentaine environ et le dernier, ça m'aurait sans doute pris deux ou trois minutes (mais dur à dire en fait la concentration n'est pas mon fort, même en milieu calme).

Vous pouvez voir par contre que dans les trois cas ma méthode est semblable, je traite un groupe facile (ex : 100/3 au lieu de 34) et j'ajuste sur les variations par rapport à lui ensuite.

PS : Je pense que j'ai adopté une telle méthode parce qu'elle me paraît d'obtenir une estimation relativement proche d'un résultat très vite et l'approximation est suffisante dans la plupart des cas, je ne poursuis que si l'exactitude est nécessaire.

^note oups j'avais ajouté 100000 ex-nihilo sur cette étape finale (et multiplié le vide).

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 3:13

Spoiler:

par Pieyre Ven 25 Mai 2018 - 11:29

Ἑκάτη, toi aussi tu m'impressionnes. Ce sont les meilleurs astuces que j'ai vues jusqu'à présent.

Mais, pour le premier calcul, ta méthode peut être encore améliorée :

34 × 78
102/3 × 26×3
2652

Cela s'inscrit dans ce que je me suis appliqué à faire précédemment (même si c'est de façon trop appliquée) : répartir les irrégularités pour obtenir dans le calcul principal davantage de régularités, avec éventuellement des compléments ajoutés ou soustraits où n'interviennent que de petits nombres.

Le problème, c'est qu'il faudrait pour penser à ces astuces avoir tellement peu confiance en soi dans les calculs élémentaires dès qu'ils font intervenir beaucoup de chiffres qu'on aurait développé la capacité d'explorer de façon très rapide un très grand nombre de voies de simplification.

C'est un problème, parce qu'il peut y avoir des pièges avec les nombres. Ainsi, dans mon troisième calcul, on aurait pu considérer 3417 comme 17 × 201. Mais il me semble que c'était une voie sans issue rapide.

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 13:30

Oui j'ai réfléchi après au fait que décomposer 34 et 100/3 et 2/3 était peut être une étape inutile par rapport à 102/3 directement (Vu qu'on est sur une multiplication à deux chiffres seulement).

J'ai assez peu confiance en moi dans mes calculs pas sur l'efficacité, mais sur la concentration ou les étourderies. Je fais facilement des erreurs grossières sur les parties les plus simples des calculs (pris un peu trop à la légère). Par exemple, j'ai du recommencer le troisième calcul parce que j'avais foiré la partie la plus simple du calcul (64 × 3200, alors que ce n'est qu'une base de puissance deux, base évidente pour quiconque a fait un minimum d'informatique... J'ai pris 1024.00 à la va vite au lieu de 2048.00 qui est pourtant évident (puisque 33.3333 × 30 = 1000, 32 × 32 donne la puissance de deux voisine (2^10 = 1024)) donc vraiment étourderie ultra conne mais du coup mon premier avait une erreur d'excès de 102400 par rapport aux autres résultats postés (heureusement facile à retrouver). Voir où j'avais fait l'erreur m'a fait me sentir un peu con pour le coup.

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 13:41

(A noter aussi qu'on peut passer par 34*81 - 34*3 pour passer par des puissances de trois qui sont très faciles à gérer).

par Pieyre Ven 25 Mai 2018 - 13:53

Bah, il n'y a pas à se sentir con : Henri Poincaré avouait être incapable d'effectuer une opération élémentaire sans se tromper (même si je n'ai pas réussi à en retrouver la référence).

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 14:43

Je sais bien sur le principe, mais ça n'empêche de le ressentir malgré tout. C'est énervant que souvent mes erreurs de calculs viennent des parties "faciles" (les retenues notamment).

Pour parler plus en détail de mes méthodes, j'aime beaucoup travailler avec les puissances primaires (je ne connais pas leur nom mathématique) :
2-4-8-16-32-64-128-256-512-1024-2048-4096-8192-16384-32768-65536-...
3-9-27-81-243-729-2187-...
5-25-125-625-3125-15625-...
6-36-216-1296-7776-...
7-49-343-2401-16807-...
11-121-1331-14641-...
Ou les divisions assez élémentaires : /2 /3 ×2/3 /4 etc.

Et en fait, si j'avais un esprit discipliné, 3417×5936 pourrait être simplifié beaucoup plus avec :
3333×6000 + 81×6000 + 3×6000 = 20000000-2000 + 486000 + 18000 (qui sont des calculs du coup quasi-instantanés très vite simplifié en 200000000+502000)
Il reste à soustraire :
3333×64^note + 81×64 + 3×64 = (192000+19200+1920+192) + (80×64 + 64) + 192 = 213312 (oh un palynombre !) + 5184 + 192
Encore des calculs élémentaires avec de la discipline
L'addition de ça : 213 312 + 5 184 + 192 = 218000 + (496 + 192) = 218 688
Reste à terminer : 502000-219000+312=283312
on ramène les 20000000 du début et hop : 20 283 312, magie ! Avec de la discipline (que je n'ai pas du tout), ça prendrait quelques secondes le tout.

^noteC'est un nombre super intéressant, d'autres méthodes très faciles pour le gérer :
3333×64 = 640000/3-64/3 = 630000/3 - 63/3 + 10000/3^{note 2} - 1/3= 210000 - 21 + 3333 = 213312
3333×64 = 303 × 11 × 64 = 303 × 704 = 212100+1212 = 213312

^{note 2}Encore une fois c'est sur un calcul facile que je fais n'importe quoi, j'ai oublié un zéro, corrigé.

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 16:35

Raymond 12 ans a écrit:
Spoiler:

Tu nous as manqué quand t'étais pas là ! Very Happy

par Pieyre Ven 25 Mai 2018 - 17:29

Ἑκάτη, merci pour ces explications, que j'ai lues attentivement. C'est étonnant d'ailleurs comme on peut avoir l'impression de comprendre quelque chose de l'autre alors qu'il s'agit de détails techniques...

Bon, je crois que tu as le même problème que moi concernant les étourderies de calcul, sauf que tu es plus performant (je connais autant de puissances de 2 que toi, mais un peu moins pour les autres, et je me décourage davantage sur le plan des calculs).

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 18:06

Hortense a écrit:
Raymond 12 ans a écrit:
Spoiler:
Tu nous as manqué quand t'étais pas là !

Merci c’est très gentil flower

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 21:46

On peut continuer encore !

Si quelqu'un poste une "triplette" de multiplications ainsi que des extractions de racine carrée (je n'ai aucune méthode, ça va être fun). Je les ferai au calme samedi et posterai mes chronos.

par Asperzebre Ven 25 Mai 2018 - 22:09

Qu'entends-tu par "extractions de racines carrés?"
Je vois deux genres de calculs intéressants avec ça.
1er: Des racines qui tombent juste: racine de 25=5, racine de 100=10 (là c'est trivial, c'est pour l'exemple, mais on peut faire des calculs assez intéressants).

2ème: Des racines qui ne tombent pas juste (exemple: racine de 2), et il faudrait alors calculer de tête un nombre prédéfini de chiffres après la virgule.
Etant donné que certains matheux connaissent par cœur les valeurs des petites racines (2,3,5...), il faudrait prendre soin de choisir des nombres relativement grands.

Je me lance, je propose des petits calculs de racines Smile

racines entières:
racine de 676
racine de 1764
racine de 29929
racine de 221841

racines décimales:
racine de 15 (3 chiffres après la virgule, arrondi au plus proche)
racine de 41 (5 chiffres après la virgule, arrondi au plus proche)
racine de 152 (8 chiffres après la virgule, arrondi au plus proche)
racine de 624 (10 chiffres après la virgule, arrondi au plus proche)

J'ai essayé de faire du simple et du moins simple, je pense que peu de monde pourra faire les dernières de tête, mais sait-on jamais.
Si quelqu'un veut m'en proposer quelques-unes à calculer, je suis également preneur.

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 22:39

Ne connaissant pas le sujet, je voulais donc parler du calcul d'une racine carrée ou cubique qui tombe "juste". Donc une racine ayant une valeur entière.
Je ferai demain à tête reposée et avec le chronomètre les tiennes.

De ton côté, peux-tu te chronométrer sur ces 3 calculs ?
64*87
843*716
7465*9814

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 22:54

Racines entières:

par Invité Ven 25 Mai 2018 - 23:28

Astuces pour les racines carrées entières :

par Invité Sam 26 Mai 2018 - 0:12

Bon, j'ai renoncé pour les racines décimales, autant je peux les évaluer approximativement très vite, autant je n'ai ni la méthode, ni la discipline, ni la concentration pour les calculer proprement et sans erreur, je fais n'importe quoi des retenues.

Pourtant la méthode que j'avais trouvé semblait être la bonne, c'est vraiment de la discipline... (phrase ajoutée après quelques recherches)

Questions accessoires : Sous quelle "forme" stockez-vous les nombres pour ces opérations ? Parvenez-vous à ne pas être perturbé par des idées annexes qui leur sont liées ?
Il m'est difficile de détacher les nombres de mes pensées et de les isoler du flux, croiser un 17 (nombre ou paire de chiffres) me rappelle différents 17 croisés dans ma vie, par exemple, un peu comme si ce qui m'aidait à jouer avec les mots/sons m'handicapait pour être rigoureux avec les nombres/chiffres.

PS : désolé pour les 3 messages successifs

par Invité Sam 26 Mai 2018 - 0:47

Ah, ben moi, je ne stocke plus rien en mémoire de travail. Les effets négatifs des hormones du stress. Je ne désespère pas que ça revienne un jour, mais, en attendant, je ne peux pas jouer avec vous, alors, je vous regarde.

Sinon, le peu que je stocke, c'est en auditif. J'ai zéro mémoire visuelle. Un peu en kinésthésique (pratique pour faire du piano dans le noir), donc je suis capable de faire des gestes pour retrouver mes idées. Si je perds le fil de mes pensées pendant que je marche, je suis obligée de venir recherche mon idée à l'endroit où je l'ai perdue, ce qui m'oblige à monter l'escalier plus souvent que physiquement nécessaire.

Mais bon, déjà, avant ça, j'avais des perturbations sur la ligne (ça s'appelle déficit de l'attention), donc un rien (un bruit de croquettes, une pensée hors sujet, un nez qui gratte) et il faut reprendre le calcul depuis le début. C'est agaçant.

Par contre, étonnant, il vaut mieux faire autre chose en même temps (conduire, par exemple) pour calmer ces perturbations sur la ligne, jamais compris pourquoi.

par Asperzebre Sam 26 Mai 2018 - 10:01

Nicolas_72 a écrit:Ne connaissant pas le sujet, je voulais donc parler du calcul d'une racine carrée ou cubique qui tombe "juste". Donc une racine ayant une valeur entière.
Je ferai demain à tête reposée et avec le chronomètre les tiennes.

De ton côté, peux-tu te chronométrer sur ces 3 calculs ?
64*87
843*716
7465*9814

64*87=5568 en 3 secondes.
843*716= 603588 en 27 secondes (j'ai un peu déconné dans le calcul, je dois pouvoir être bien plus rapide)
7465*9814= 73261510 en 38 secondes, en deux fois (j'ai fait n'importe quoi la première fois, j'ai remis le chrono à zéro et recommencé le calcul du début, en m'imposant de recalculer les résultats que j'avais mémorisés pour ne pas 'tricher' sur le temps.)

par ou-est-la-question Sam 26 Mai 2018 - 13:37

je suis épatée

bravo à vous

par Invité Sam 26 Mai 2018 - 13:42

Mes réponses et mes chronos pour les racines entières :

racine de 676
racine de 1764
racine de 29929
racine de 221841

Spoiler:

Conclusions :
Ce n'est pas si dur que je le pensais.
En procédant par tâtonnement (recherche dichotomique), il y a en fait peu de nombres qui conviennent (car pour terminer avec un chiffre, il faut que sa racine termine par un lot limité de chiffres).

par Invité Sam 26 Mai 2018 - 14:11

Ἑκάτη a écrit:
Questions accessoires : Sous quelle "forme" stockez-vous les nombres pour ces opérations ? Parvenez-vous à ne pas être perturbé par des idées annexes qui leur sont liées ?
Il m'est difficile de détacher les nombres de mes pensées et de les isoler du flux, croiser un 17 (nombre ou paire de chiffres) me rappelle différents 17 croisés dans ma vie, par exemple, un peu comme si ce qui m'aidait à jouer avec les mots/sons m'handicapait pour être rigoureux avec les nombres/chiffres.

Comme sur une ardoise à l'école, je pose mentalement les nombres à multiplier (additionner/soustraire) l'un sous l'autre.
Pour les multiplications, je pose le nombre le plus grand TOUJOURS au-dessus du nombre le plus petit. Quasiment incapable de calculer dans l'autre sens...
Idem si je dois fixer un point... J'ai besoin de cligner et bouger les yeux pour avancer dans mes calculs.
Mémoire auditive pour les petits calculs intermédiaires puis retour à l'ardoise pour poursuivre et conclure.

par Pieyre Sam 26 Mai 2018 - 15:30

Les racines

Bon, j'ai du mal à me concentrer. Il faudrait que je sois en examen pour y parvenir au mieux. Là je regarde vaguement en me disant que je ne vais pas y arriver; alors autant ne pas répondre. Et puis tout de même ça m'intéresse, en pointillés, ce qui fait qu'au bout du compte j'y arrive avec une méthode qui aurait pu me permettre d'être assez rapide. Mais il n'empêche que je n'atteindrais pas des performances exceptionnelles.

racine de 676

25² = 625
c'est proche de 676
donc c'est 26, avec la confirmation du chiffre des unités

racine de 1764

1600 = 40²
donc c'est juste un peu plus de 40
allez : 42, qui convient pour le chiffre des unités

racine de 29929

c'est très proche de 3 × 10000
racine de 3, c'est environ 1,732
donc ce doit être 173, qui convient pour le chiffre des unités

racine de 221841

c'est proche de 25 × 10000
donc c'est un peu moins de 500
45² = 2025 (mon père avait appris : (a|5)² = a(a+1)|25)
donc c'est assez proche de la moyenne géométrique de 450 et 500 (forcément inférieure à 475)
ça se termine par 1 ou 9, donc ce doit être 471 plutôt que 479
221841 est divisible par 9, donc c'est divisible par 3
donc c'est bien 471

Les gens attentifs remarqueront que je n'aime pas tellement le calcul arithmétique dès que ça se complique. En effet, ça m'angoisse, et je fais tout pour l'éviter.

par Invité Sam 26 Mai 2018 - 16:34

Peur de l'échec ?

par Pieyre Sam 26 Mai 2018 - 17:10

racine de 15 (3 chiffres après la virgule, arrondi au plus proche)

15
proche de 16, donc un peu moins de 4
1500
proche de 35² = 1225, donc un peu plus de 3,5

on gagne une décimale en multipliant par 100, ce qui est logique
donc autant passer directement à 1.500.000.000

sauf que c'est trop grand, alors autant revenir en arrière

1500
35² = 1225 et 40² = 1600 d'après ce qui précède
39² = 1521, donc un peu plus de 3,8, et même à peine moins de 3,9
388² = (390 - 2)² = 152.100 - 1.560 + 4 = 150.544
la moyenne géométrique étant inférieure à la moyenne arithmétique, il s'agit de diminuer davantage l'estimation de la racine que celle qu'on pourrait induire de la moyenne des carrés (même connaissant ce principe, je me suis gourré plusieurs fois)
3875² = (3880 - 5)² = 15.054.400 - 38.880 + 25 = 15.015.625
3873² = (3875 - 2)² = 15.015.625 - 15.500 + 4 = 15.000.135
donc 3,873 arrondi par excès

Autre méthode :
racine de 3, c'est environ 1,732
racine de 5, c'est environ 2,236
Ce sont des valeurs connues par tout mathématicien.
Il faudrait les multiplier et vérifier le dernier chiffre. Mais là j'ai la flemme.

Quant aux autres racines, je n'essaie même pas.

par Pieyre Sam 26 Mai 2018 - 17:19

Hortense :
Peur de l'échec ?

Peur de l'échec, peur de la réussite, peur de tout.

par Cyril THQI Sam 26 Mai 2018 - 17:20

Les 2 approches qui me viennent en premier à l'esprit (et que je préfère) : :

Et ensuite ::

Une autre "méthode" beaucoup plus risquée et que je n'ai pas utilisée ici consiste à deviner au feeling le résultat et à ajuster le chiffre des unités.

par Invité Sam 26 Mai 2018 - 17:24

Pieyre a écrit:
Hortense :
Peur de l'échec ?
Peur de l'échec, peur de la réussite, peur de tout.

Pas facile.

par Pieyre Sam 26 Mai 2018 - 17:42

Cyril THQI :
400 - 49

27 × 13 = (20 + 7) × (20 - 7) = 20² - 7²
C'est magnifique !

par Invité Sam 26 Mai 2018 - 18:28

Je pense que Cyril va nous apporter des méthodes appréciables. Patientons...

par Invité Sam 26 Mai 2018 - 18:42

Il fallait le voir, c'est très élégant, en effet.

par Asperzebre Sam 26 Mai 2018 - 20:34

C'est intéressant de voir les méthodes alternatives.
(20+7)(20-7), c'est super joli, en effet.

Personnellement, je n'y aurais jamais recours, manquant de confiance en moi concernant ce genre de formules: (a+b)²=a²+b²+2ab, etc, que je connais approximativement, mais que je ne peux m'empêcher de vérifier à chaque fois que je les utilise.

C'est typiquement le genre de formules que je trouvais idiotes à l'adolescence, que j'ai refusé d'apprendre bêtement par cœur, parce qu'on peut les retrouver de tête (ce qui explique que je les connaisse si mal aujourd'hui).

Mais pour le coup, confronté à (20+7)(20-7), je commencerais par recalculer la formule:
(a+b)(a-b)=a²-ab+ba-b²=a²-b², et ce serait donc plus une perte de temps qu'autre chose.

Autre sujet: je suis impressionné par la vitesse de résolution de Ἑκάτη pour les racines carrées.

par Invité Sam 26 Mai 2018 - 20:38

Oui, enfin, comme le fait Pieyre, c'est plus un travail de déduction que de calcul. Si j'étais confronté à la racine d'un très gros nombre, ça serait beaucoup moins efficace comme méthode.

par Pieyre Dim 27 Mai 2018 - 14:26

Bah, ça me pose un problème justement dans le cas des extractions de racines en général, c'est-à-dire quand on ne part pas d'un nombre supposé être un carré. J'ai vaguement appliqué quelques astuces dans le cas de la racine de 15, mais rien de si déterminant par rapport au problème des multiplications. Et pourtant, certains calculateurs prodiges sont capables d'extraire des racines à une vitesse extraordinaire. Mais comment font-ils ?

Bon, on pourrait partir de :

√a = a^1/2 = [⍺ × (1 + a/⍺ - 1)]^1/2 avec √⍺ connue et 0 < a/⍺ - 1 < 1, ce qui permettrait d'appliquer le développement limité :

(1 + x)^1/2 = 1 + 1/2 x - 1/8 x² + 1/16 x³ - ...

Mais bof...

par Cyril THQI Dim 27 Mai 2018 - 17:23

Je suis content que la méthode a² - b² vous plaise. Mais je suis surpris qu'elle vous étonne. Je la pensais plus connue. Elle est très utile et peut être utilisée dans de nombreux cas. Si on a mémorisé les 100 premiers carrés parfaits, on peut résoudre toutes les multiplications de nombres à 2 chiffres avec elle.

Exemple :
X = 47 x 24
X = 46 x 24 + 24
X = 35² - 11² + ...
X = 1225 - 121 + ...
x = 1125 + 3
x = 1128

J'ai mis des pointillés à certains endroits à la place de 24 car il n'est pas nécessaire de l'avoir à l'esprit à ce moment de la résolution. On a juste à le retrouver en mémoire au moment où il est utile. On peut utiliser cette technique très fréquemment. En particulier, on peut faire facilement l'économie de la représentation des symboles =, + , -, x, :
et se représenter auditivement 1789, non pas comme "Mille sept cent quatre-vingt-neuf", mais comme "un, sept, huit, neuf", leur rôle dans le système décimal étant tacite et compris.

par Invité Dim 27 Mai 2018 - 17:39

Intéressant, cependant, je ne suis pas convaincu par l'exemple choisi parce que l'utilisation d'un seul carré me paraît encore plus spontané dans ce cas particulier.

Avec ta notation :
X = 47 × 24
X = 48 × 24 - 24
X = 2 × 24² - ...
X = 2 × 576 - ...
X = 1152 - 24
X = 1128

par Invité Dim 27 Mai 2018 - 17:43

Ou une méthode vraiment bâtarde et très rapide :

45 × 25 = 1125
2×25-47 = 3
1125+3 = 1128

par Pieyre Dim 27 Mai 2018 - 18:37

Ou alors :

47 × 24
50 × 24 - 72
1200 - 72
1128

par Invité Dim 27 Mai 2018 - 19:20

Oui aussi, ou :
47 × 25 - 47 =
44 × 25 + 75 - 47 =
11 × 100 + 25 + 3 =
1128

Il y a toujours beaucoup de méthodes valides et extrêmement rapides pour des calculs aussi simples (note : On peut aussi penser à 40 × 25 = 1000 et 7 × 25 = 175).

par Invité Dim 27 Mai 2018 - 20:08

La méthode a² - b² est connue et élégante mais ne vient pas à l'esprit pour des produits à deux chiffres. C'est peut-être un tort. Cependant, les multiplications à deux chiffres ne sont pas très difficiles et peuvent être traitées directement par la méthode scolaire traditionnelle (mais en allant de gauche à droite : 20*47 + 4*47 = 940 + 160 + 28 = 1128).

J'ai relu quelques pages du livre "La bosse des maths" de Stanislas Dehaene (édition de 1996).
Toute personne motivée et persévérante peut franchement progresser jusqu'aux multiplications à 3 chiffres en utilisant les méthodes enseignées par des experts et en mémorisant certains calculs pertinents (les carrés des 50 premiers nombres par exemple).

Pour les multiplications plus complexes (4 chiffres par 4 chiffres), une mémoire considérable est absolument nécessaire.

Les calculateurs prodiges étudiés présentent :
- une passion obsessionnelle pour les nombres depuis leur tendre enfance
- un "entrainement" acharné pendant leurs premières années (souvent solitaires)
- une mémoire hors-norme dans le domaine numérique (que même les caissiers des premiers grands magasins n'ont pas réussi à acquérir après des années de pratique professionnelle...).

Ajoutons qu'à force de calculs, il est courant qu'ils retrouvent des formules ou découvrent des raccourcis.

Rem : tout ce qui est dit pour le calcul mental l'est aussi pour le calcul calendaire sauf la nécessité d'une mémoire hors-norme.

par Invité Dim 27 Mai 2018 - 22:35

La calcul calendaire est assez simple en effet, c'est une somme de petites astuces, on avance très vite en pas de 28 ans (ou ses multiples) ou 28 jours, les pièges sont surtout pour les calculs lointains, avec les années non-bissextiles multiples de 4 (C'est à dire les années multiples de 100, mais non-multiples de 400) et le passage du calendrier julien au calendrier grégorien (le 15 octobre 1582 est le lendemain du 4 octobre 1582) ou même l'absence d'an 0 (mais là on arrive à des datations qui sont souvent de fait plus approximatives).

par Invité Dim 27 Mai 2018 - 22:51

Tout à fait d'accord. J'ai des choses à dire sur ce sujet... Pour ne pas tout mélanger, je vais créer un fil spécifique.

par Invité Dim 27 Mai 2018 - 23:04

Volontiers. Smile

par Invité Dim 27 Mai 2018 - 23:19

Voilà c'est fait :
https://www.zebrascrossing.net/t35053-calcul-calendaire-jour-de-la-semaine-d-une-date

Tu peux y mettre tes remarques pertinentes. Merci !

par Pieyre Lun 28 Mai 2018 - 16:58

Je reviens sur le calcul des racines.

Le principe des développements limités, cela demande quelques connaissances mathématiques, certes.

Mais, la formule utile, c'est juste une formule, qui n'est pas si compliquée :

(1 + a)^1/2 = 1 + 1/2 a - 1/8 a² + 1/16 a³ - 5/128 a⁴ + 7/256 a⁵ + ...

Toute méthode de calcul requiert de la vitesse et de la mémoire immédiate, mais elle peut se nourrir aussi de mémoire permanente.

Alors, considérons le problème d'extraire la racine de 41 en faisant appel aux carrés qui encadrent 41 :

41 = 36 (1 + 5/36)
ou
41 = 49 (1 - 8/49)

Bof : les puissances de 6 ou de 7 au dénominateur, ce n'est pas évident pour le calcul de tête.

Mais on a aussi :

41 = 25 (1 + 16/25)

Et là c'est plus intéressant, parce qu'on obtient des puissances de 2 et de 5 qui se correspondent bien (notamment 1/5 = 2/10, ce qui va servir de façon récurrente).

Alors il suffit d'appliquer la formule initiale :

√41 = 5 (1 + 8/25 - 32/625 + 256/(25×625) - 5/128 × 256²/625² + 7/256 × 2²⁰/5¹⁰ + ...)
√41 = 5 + 1,6 - 0,256 + 0,08192 - 7 × 2²¹/10⁹ + ...

Bon, en gros c'est 6,4, mais la convergence n'est pas assez rapide pour que je puisse aller plus loin de tête. Ce n'est donc pas si intéressant que j'aurais pu le penser.

par Cyril THQI Lun 28 Mai 2018 - 18:59

Ἑκάτη et Pieyre, vos approches concernant l'exemple que j'ai choisi sont bien entendu efficaces. Mais mon but n'était pas de trouver la meilleur façon de résoudre cette multiplication mais de simplement illustrer un algorithme.

par Invité Lun 28 Mai 2018 - 19:04

Oui j'avais bien saisi, c'est pourquoi j'ai commencé mon développement par : "Intéressant, cependant, je ne suis pas convaincu par l'exemple choisi".

par Pieyre Lun 28 Mai 2018 - 19:22

Oui, mais on peut y réfléchir en se disant que, s'il s'agit d'effectuer A × B, il est plus efficace d'appliquer cette méthode quand A - B est pair, c'est-à-dire typiquement A - B = 2 × n, d'où A - n = B + n = p et A × B = (p + n) × (p - n) = p² - n².

En pratique :

27 × 13 = (20 + 7) × (20 - 7)
49 × 31 = (40 + 9) × (40 - 9)
68 × 26 = (47 + 21) × (47 - 21)

Sinon, il y a peut-être plus rapide.

Et même, dans mon dernier cas, il y a sans doute plus rapide si l'on ne connaît pas les carrés de 47 et de 21.

par Invité Lun 28 Mai 2018 - 20:00

Ce que propose Cyril, c'est une méthode "clef en main" pour résoudre tous les produits à 2 chiffres.
Un effort d'apprentissage étant nécessaire auparavant.
Rem : un peu comme nos méthodes pour le calcul calendaire.

Je ne sais pas s'il y a des formules efficaces à utiliser systématiquement pour les multiplications à 3 chiffres et 4 chiffres et au-delà bien sûr.
Il semble que les calculateurs prodiges disposent d'une grande connaissance arithmétique stockée en mémoire à long terme dans laquelle ils "tapent" judicieusement. Leur mémoire de travail XXL leur permettant de récupérer puis manipuler des grands nombres.
Ils sont sur 32 bits alors que la personne douée est sur 16 bits et le commun des mortels sur 8 bits.

Ça me fait penser aux champions d'échecs qui ne calculent pas toujours (ça dépend de la position) autant que l'on pourrait le croire d'après mes lectures. Il faut que je créé un sujet sur les échecs. Je me pose des questions sur leur intérêt réel dans l'épanouissement intellectuel...

par Cyril THQI Lun 28 Mai 2018 - 20:22

J'approuve ce que tu dis sur les calculateurs prodiges.

J'imagine que certains calculateurs iront plus vite avec une une table 100 X 100 qu'avec une table 10 X 10. Nul besoin pour cela de mémoriser tous les résultats (ce que Klein avait fait, je crois). Il suffit de les retrouver rapidement comme beaucoup d'intervenants ici savent le faire. Il me semble que cela donne l'avantage d'une vision plus synthétique et de permettre ainsi de moins égarer l'attention et de moins mettre en défaut la mémoire de travail.

Par exemple (et peut-être cet exemple est-il mal choisi Very Happy

) :
2947 x 7216 nécessiterait de calculer :
30 x 72 x 10000 + (30 x 16 - 53 x 72) x 100 - 53 x 16

Nicolas, si tu crées un sujet sur les échecs, je participerai sans doute.