Problème des deux enveloppes

Edit modo : ce fil est issu d'une scission du fil sur le problème de Monty Hall. Le message de Cyril faisait initialement suite à ce message.

Nicolas, ton problème me fait penser à un autre problème de probabilité et de choix qui m'a rendu très perplexe. Sans doute le connais-tu :

Soit 2 boîtes, contenant chacune une somme d'argent.
L'une des boîtes contient le double de l'autre.
Vous allez pouvoir emporter le contenu d'une boîte.
Vous choisissez une boîte.
Vous l'ouvrez.
Vous y découvrez une somme X.
L'organisateur du jeu, qui ignore quelle boîte vous avez ouverte vous donne le choix d'en changer (comme dans le problème de Monty Hall.
Que faîtes-vous ?

2 raisonnements incompatibles peuvent alors être faits :

Premier raisonnement :
La probabilité d'avoir choisi, la meilleure boîte est 1/2 et il est indifférent de changer.

Deuxième raisonnement :
La boîte que j'ai choisie contient X. L'autre à une probabilité 1/2 de contenir 2X et une probabilité 1/2 de contenir X/2. L'espérance mathématique est donc (2X + X/2)/2, c'est-à-dire 1,25 X. J'ai donc intérêt à changer.

Je suis convaincu que le deuxième raisonnement est fallacieux, mais je ne parviens pas à le démontrer.

Le problème est en quelque sorte inverse de celui de Monty Hall : on lie les deux choix alors qu'il n'y a pas de lien (puisque le choix de l'organisateur ne dépend pas du choix du joueur).

Globalement, il y a une somme S et une somme 2S, les deux boîtes correspondant à la même variable aléatoire qui a pour espérance 1,5S. C'est-à-dire que la somme qu'on trouvera dans la deuxième boîte ne doit pas être considérée comme double ou moitié de celle, X, qu'on a trouvée dans la première mais juste S (par ailleurs égale à X/2) ou 2S (par ailleurs égale à 2X).

Mon analyse est différente, c'est le premier raisonnement qui me semble fallacieux. Il n'est pas indifférent d'en changer puisque le contenu de l'autre boîte est nécessairement différent et peut désormais être calculé (contrairement à avant où il était aussi inconnu que l'autre).

Si on avait pas ouvert la boîte et vu son contenu, cela ne changerait pas en effet. (Ce qui est très paradoxal, en effet, mais à ce moment les calculs de Pieyre s'appliquent)

Mais pour simplifier, disons que dans ce second cas, on a à choisir entre une boîte qui contient soit plus, soit moins que l'autre (proportion égale) sans espérance possible.
Et dans le premier, on a une boîte qui contient deux fois moins ou deux fois plus que celle dont on connaît le contenu (proportion égale toujours) et du coup on a un calcul d'espérance possible.
Bref, en changeant de boîte on a toujours autant de chance de gagner plus que de gagner moins, mais le gain potentiel reste le double de la perte potentielle.
Ce n'est donc que la connaissance de ceux-ci (les montants) qui influe sur le choix.

Disons donc que, en quelque chose qui doit s'approcher d'un langage mathématique :
En aveugle on est à ce choix S ou 2S qui ne peut être tranché.
Alors que si on la valeur d'une boîte, on passe dans un modèle X ou (X/2 ou 2X).
Ce qui en fait deux problèmes bien différents.

PS : Je suis pas matheux, alors je dis potentiellement de grosses conneries.

Faut-il vraiment additionner les deux probabilités (2X + X/2)/2, alors que les 2 événements sont incompatibles, la 2ème boite contenant soit 2 X, soit 1/2X ?
Enfin les maths c'est loin pour moi...

Ἑκάτη, de la façon dont tu présentes les choses, cela ressemblerait à l'expérience de pensée du chat de Schrödinger. Et pourtant le second choix ne peut pas être différent selon que l'on ouvre ou pas la boîte, ne crois-tu pas ?

J'essaie de formaliser un peu plus les choses.

On a une somme d'argent S fixe.
On a deux variables aléatoires X et Y qui peuvent prendre les valeurs S et 2S avec les probabilités 1/2.
On choisit d'appliquer X. L'espérance de X est de 1,5S. C'est ce qu'on peut attendre en moyenne avant d'ouvrir la boîte. On fois qu'on l'a ouverte, on constate S ou 2S.
Notre choix n'a rien changé quant aux sommes qui sont présentes dans les boîtes, juste quant à la connaissance qu'on en a.
L'organisateur nous propose d'appliquer Y.
Rien ne change non plus quant au contenu des boîtes. On sait que la valeur de la seconde boîte peut être S ou 2S, par ailleurs double ou moitié de ce qu'on avait obtenu la première fois. Et, quand on l'ouvre, on constate en effet S ou 2S.
C'est-à-dire que l'espérance de Y a toujours été de 1,5S.

Est-ce que S est connu au début ? Ce n'est pas stipulé, et c'est même absurde puisque sinon le joueur saurait s'il doit changer ou non. Donc S est inconnu à l'origine.

Et c'est pourquoi les deux cas sont différents pour moi, parce que dans le premier S reste inconnu et donc il n'y a pas de calcul d'espérance possible. Alors que dans le second, il devient déterminable (selon deux possibilités du coup, soit 1,5X, soit 3X), ce qui change selon moi le problème.

Je n'ai pas dit que la somme S était connue au départ, mais qu'elle était fixe (dans le référentiel de l'organisateur). Dans ton raisonnement, c'est comme si ce référentiel pouvait changer en fonction du choix du joueur.

Bon, tu devrais faire comme Paul Erdös : une simulation informatique. Le résultat serait imparable.

Je ne suis pas convaincu et j'en reste à l'idée que les deux problèmes diffèrent. La connaissance de la valeur d'une boîte ne change évidemment pas la valeur de S, mais elle permet de poser deux hypothèses sur celle-ci, équiprobables, la seconde étant cependant plus avantageuses pour nous que l'autre si on change son choix (-1/2X contre +X). Cela ne change pas le fait qu'on a toujours une chance sur deux de faire le moins bon choix. La différence c'est que dans le cas de la connaissance, on connaît le moins bon ou le meilleur choix, et sans cela, non.

Je vais tenter de poser ça logiquement :

Soit S la somme, x le contenu du premier coffre, 2x le contenu du second. Aucune n'est connue.

S = x + 2x = 3x

Si le joueur choisit x,
S'il change d'avis il gagne 2x
S'il ne change pas d'avis, il gagne x

Si le joueur choisit 2x,
S'il ne change pas d'avis, il gagne 2x
S'il change d'avis, il gagne x

Jusqu'ici on a la logique respectée, 50% de chances d'avoir x, 50% de chance d'avoir 2x

---

Maintenant supposons X le montant de la boîte ouverte.

2 cas :
a. S = X + 1/2X
S'il conserve sa boîte, il gagne X
S'il change sa boîte, il gagne 1/2X (perte de gain potentiel de 1/2X)
Vérification :
Ici X = 2x
S = 2x + 2x/2 = 3x

b. S = X + 2X
S'il conserve sa boîte il gagne X
S'il change sa boîte, il gagne 2X (gain de gain potentiel de 1X)
Vérification :
Ici X = x
S = x + 2x = 3x

Chaque cas est équiprobable évidemment, et tous respectent S=2x+x.

Ce que je veux poser c'est que les deux cas somme S inconnue et valeur X connue n'ont rien de contradictoire.

Et d'ailleurs pour les cas ou X est connu :

a. S = X +1/2X
X = 2x
1/2X = x

b. S = 2X + X
X = x
2X = 2x

On retrouve les 50% de x et 50% de 2x qui définissent bien la répartition à S inconnu.

Je ne connaissais pas ce "paradoxe".

Le premier raisonnement est correct.
Les deux événements sont équiprobables (boîte SIMPLE ou boîte DOUBLE).
Aucune raison de changer ou de ne pas changer.
Changer de boîte, ce serait comme retourner une pièce une fois de plus après l'avoir lancé.
Ça ne changerait rien. Je pense que tout le monde est d'accord sur ce point.

Le second raisonnement est forcément fallacieux.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire n'a de sens que calculée avant de jouer et représente le gain moyen si on jouait plusieurs fois au même jeu.
La boîte SIMPLE contient SIMPLE euros.
La boîte DOUBLE contient 2 * SIMPLE euros.
Ce gain moyen est de 1/2 * SIMPLE + 1/2 * (2 * SIMPLE) donc 3/2 * SIMPLE.

Le calcul de l'espérance que tu cites n'a plus aucun sens car on est déjà entré dans le "jeu".
D'ailleurs, si je participe en même temps que toi et que j'hérite de la boîte restante, le second raisonnement m'incite moi-aussi à changer de boîte ! Donc nous échangeons nos boîtes

Je crois qu'une notion de valeur relative et de valeur absolue est à prendre en compte.

Pour un S constant :
Dans le cas b. 2X-1X = 1X = ...
dans le cas a. X-1/2X = 1/2X
Ce qui lisse en effet le résultat puisque 1X(b) = 1/2X(a) et donc le gain d'espérance est effacé (ce qui est normal).

Mais S reste inconnu. En fait changer, c'est faire le pari que S serait deux fois plus important qu'il le serait en conservant son choix (ce qui tient vraiment du pari du coup, mais c'est pas un pari très risqué (on a tort, on gagne deux fois moins qu'attendu, on a raison on gagne deux fois plus).

Si quelqu'un a de la doc sur ce "paradoxe", je serais curieux.

Edit : Trouvé ! https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_deux_enveloppes

Ah tout est changé, le contenu de l'enveloppe reste inconnu avant la proposition ce qui fait qu'on reste dans le cas S... Je vais explorer.

Modifications de l'énoncé
Si le candidat est autorisé à consulter le contenu de la première enveloppe, une approche probabiliste à ce problème de décision redevient possible (...)

Un peu différent : le jeu de « moitié ou double »
Le jeu

Le jeu est le même avec une condition supplémentaire : la quantité d'argent contenue dans une enveloppe doit être le double (ou la moitié !) de celle contenue dans l'autre enveloppe. Autrement dit, les enveloppes doivent contenenir x1=t et x2=2t pour une certaine somme t>0. Le candidat choisit l'enveloppe contenant x (égal à x1=t avec probabilité 1/2, et à x2=2t avec probabilité 1/2), et on appelle x' la somme contenue dans l'autre enveloppe.

Un raisonnement erronné

Quelle que soit la somme x découverte par le candidat, la somme x' contenue dans l'autre enveloppe a une chance sur deux d'être 2x et une chance sur deux d'être x/2. Son espérance est donc 5x/4>x, et le candidat a donc toujours intérêt à changer d'enveloppe.

Critique de la raison erronnée

Ce raisonnement montre que, x étant une variable aléatoire égale à t avec probabilité 1/2 et 2t avec probabilité 1/2, et x' la variable complémentaire, l'espérance de la variable aléatoire x'/x est égale à 5/4. Il en va de même de l'espérance de la variable aléatoire x/x'. Cela n'a rien de contradictoire (même si c'est un peu surprenant). Cela ne signifie pas pour autant que le candidat ait intérêt (avant même d'avoir ouvert son enveloppe) à changer d'enveloppe, puisque les espérances de x et x' sont égales (toutes deux à 3t/2). Il est faux que l'espérance de x' soit égale à 5/4 fois celle de x.

Maintenant, supposons que x soit connu (ce n'est plus une variable aléatoire). Quelle est l'espérance de x' ? Cela n'a aucun sens : il n'y a plus de variable aléatoire dans le problème. x' est un nombre réel égal soit à 2x soit à x/2, mais il est absurde de parler de probabilité pour l'un ou l'autre cas (précisément, la probabilité que x'=2x est 1 si t=x, et 0 si t=x/2).

On peut cependant le faire si on suppose que t a été en fait tiré au hasard suivant une certaine loi fixée. Par exemple, pour une loi uniforme entre 0 et T, l'espérance de x' est 3x/2 si x est compris entre 0 et T, et x/2 si x est compris entre T et 2T (et le candidat a donc intérêt à changer d'enveloppe lorsque x est compris entre 0 et T, ce qui lui assure ainsi une espérance de gain de 15T/16). (Voir aussi plus bas pour une autre manière de s'assurer une espérance de gain minimale.)

Cependant, en l'absence de tout renseignement sur t, le candidat peut tout de même s'assurer une espérance de gain meilleure que 3t/2, en choisissant l'autre enveloppe lorsque l'enveloppe qu'il ouvre renferme une somme inférieure à x0, où x0 est un réel qu'il a préalablement tiré au hasard.

http://www.madore.org/~david/math/proba.html#game_var

"Maintenant, supposons que x soit connu (ce n'est plus une variable aléatoire). Quelle est l'espérance de x' ? Cela n'a aucun sens : il n'y a plus de variable aléatoire dans le problème"

YES !!!

"On peut cependant le faire si on suppose que t a été en fait tiré au hasard suivant une certaine loi fixée."

(Ici, j'ai supposé que t (ou S) avait été fixé selon une simple loi aléatoire parmi les réels, un cas où x0 tend vers l'infini donc... C'est sans doute le flou dans la consigne sur ce point et la divergence dans les interprétations de celle-ci qui a amené ces analyses fort différenciées)

Cyril nous a donc lancé sur un problème que nous ne connaissions pas mais qui est fort documenté et discuté sur le Web : le paradoxe des deux enveloppes et ses variantes.

Pour ma part, je vais en rester là, je considère que ça n'a pas de sens de calculer l'espérance une fois qu'on est entré en jeu et donc que le second raisonnement est bel et bien fallacieux.

Rem : Je vais créer un sujet autour de l'énigme qui m'est venu à l'esprit récemment et qui est beaucoup plus relaxante  

@Cyril : les échanges des intervenants sur ce forum t'ont-ils aidé à progresser dans la compréhension de la réfutation du deuxième raisonnement ?

Je voulais juste ajouter un élément concernant ce problème, qui ne me semble pas si explicite dans le document que je viens de lire à ce sujet : Paradoxe des deux enveloppes.

Voici : ce qu'on appelle une variable aléatoire ni n'est une variable ni n'est aléatoire, comme le disait l'un de mes anciens professeurs : c'est une fonction d'un espace probabilisé sur un espace mesurable, ce qui est d'un niveau d'abstraction assez élevé, quand bien même cela doit permettre de modéliser des problèmes assez simples comme celui qui nous a occupés.

Lorsque nous avons considéré X, en fait c'était X (a), et que ce qui importait de comparer dans le calcul c'était X (a) et S et non X et S. C'est-à-dire que la formalisation importe beaucoup dans certains cas qui pourtant nous paraissent évidents, et que le calcul élémentaire peut ne pas être suffisant pour cela.

J'ajouterai de mon côté qu'il est essentiel de bien distinguer influence sur la somme qui est impossible et influence sur la compréhension de la valeur de la somme qui est ce qui se joue quand l'enveloppe est connue (ce qui n'est pas le cas général du problème rappelons-le).

Je vais me permettre cette explication assez grossière de mes raisonnements.

Prenons le cas où X, le contenu des enveloppes est 1, 2, 3, 4 ou 6 (avec toujours le double de l'une dans l'autre) et où le joueur connaît la règle S = {3; 6; 9} :
S'il ne voit pas son enveloppe l’intérêt à changer est inexistant.
S'il l'ouvre et voit 1 ou 3, il a 100% intérêt à changer puisque l'autre contient nécessairement 2 ou 6.
S'il l'ouvre et voit 4 ou 6, il a 0% d'intérêt à changer puisque l'autre contient nécessairement 2 ou 3.
S'il l'ouvre et qu'il voit 2, il peut la conserver ou l'échanger, deux cas s'offre à lui en cas d'échange : l'autre enveloppe ne pouvant contenir (selon une probabilité équivalente) que 1 ou 4. (Donc soit une perte de -1, soit un gain de +2)
Ainsi, la connaissance du contenu d'une enveloppe et de la règle permet de faire un choix.

Prenons un cas plus large, disons que S, la somme totale, est compris entre 1500 et 15000, la règle est connue du joueur.
S'il ne voit pas son enveloppe l’intérêt à changer est inexistant.
S'il l'ouvre et voit un montant de 500 et 999,99 il a 100% d'intérêt à changer puisque la valeur qu'il voit plus sa moitié est inférieure à 1500.
S'il l'ouvre et voit un contenu supérieur à 5000, il a 0% d'intérêt à changer puisque la valeur qu'il voit plus son double est supérieur à 15000.
Pour tout résultat compris entre 1000 et 5000, inclus, s'il a tort de changer, l'enveloppe donnera deux fois moins, s'il a raison, elle donnera une valeur deux fois supérieure (cas équiprobables pour n'importe quelle valeur dans la plage).
Encore une fois la connaissance d'une enveloppe influe sur le choix. Et il devient possible d'édicter un choix (marge extrême) ou une espérance si la règle est connue du joueur.

Dans le cas où les règles deviennent inconnue, soit le cas donné, on peut tout aussi bien supposer qu'on a repoussé les marges à 0 (ou plutôt 1/∞) et ∞.
Il n'y a toujours pas d'intérêt à changer sans connaissance.
Les 100% d'intérêt à changer se retrouvent donc repoussés à une valeur égale à 1/∞.
Les 100% d'intérêt à ne pas changer se retrouvent repoussés à une valeur égal à ∞.
Par conséquent, X, la valeur de l'enveloppe ouverte, se retrouvera donc nécessairement entre ces deux cas.
Pour rappel également : une fois que X est déterminé, l’intervalle entre X et ∞ est infini par rapport à l'intervalle entre 1/∞ et X (bien que cet intervalle recouvre une infinité de valeurs lui aussi). Et donc, selon ce dernier point, un nombre x0 aléatoire (compris entre 1/∞ et ∞) devient nécessairement supérieur à X (ou pour être exact supérieur dans une infinité de cas par rapport au cas où il ne l'est pas) et donc l'intérêt est de changer puisque l'autre enveloppe a autant de chance de contenir 2X (gain de 1X) que X/2 (perte de X/2).

Ce qui n'empêche qu'un changement d’enveloppe sera, quoi qu'il arrive, un mauvais choix dans un cas sur deux. À noter d’ailleurs que si on passe dans un intervalle -∞ à +∞ (un gros jeu de bâtard où la mafia s'y met...), l'intérêt à changer s’équilibre, il ne faut pas changer si notre enveloppe a un montant négatif (enfin, on peut ; dans un cas sur deux, on leur devra deux fois moins, dans un sur deux, on leur devra deux fois plus...)

J'ajoute, par rapport à ce que dit Pieyre, qu'il est bien sûr très peu probable (impossible) que le contenu d'une enveloppe s'approche d'une valeur de +∞. Et ce cas est un exercice de pensée. Dans le concret, on peut se reposer sur d'autres éléments. Si c'est un jeu en série, si le montant semble bas par rapport à l'intérêt, on est dans l'intérêt de changer (loi de probabilité), si au contraire il paraît élevé dans la série, il vaut mieux ne pas changer. Ex : Les candidats précédents ont un gain moyen de 437 €, si mon enveloppe me donne 600 €, je ne la changerais pas, si elle me donne 250 € je la changerais. Je dirais plus simplement, si on analyse le contexte, si le gain nous satisfait par rapport à celui-ci, il ne faut pas changer, s'il nous déçoit, on a intérêt à changer. Si le contexte n'est pas analysable, il ne reste que ce pari, une fois le montant connu.

@Nicolas_72 : Tu ne peux pas prendre qu'une partie d'une démonstration comme un tout. Calculer une espérance n'a pas de sens en tant que tel, mais calculer une espérance par rapport à la règle en a un et ça devient de simples probabilités.
De la même façon ton paradoxe des deux joueurs n'en est pas un. Les deux joueurs ont la même espérance relative à changer, mais elle intervient sur un X différent, ce qui s'annule au total en valeur absolue, puisque le gros X sera perdant dans son pari et le petit X sera gagnant. Et de ce fait, c'est ton paradoxe lui-même qui est fallacieux, l'espérance ne pouvant pas être confondue avec le gain.
Soit A et B les deux joueurs. A a 500 dans son enveloppe, B a 250.
A se dit qu'en changeant d'enveloppe avec B, il obtiendra soit 250, soit 1000. Son calcul d'espérance est donc de 1250/2 = 625 (contre 500, espérance ×1,25).
B se dit qu'en changeant d'enveloppe avec A, il obtiendra soit 125, soit 500. Son calcul d'espérance est donc de 625/2 = 312,5 (contre 250, espérance ×1,25).
Le fait que A ait tort de changer et que B ait raison de changer justifie justement ce "paradoxe" des deux joueurs, puisque 500/2 = 250 et 250×2 = 500
Si A avait eu raison de changer, B aurait été perdant en espérant obtenir 2000. 1000/2 = 500 et 500×2 = 1000 (ce qui est reproductible ad lib.)

Voilà, j'espère que cela aura clarifié un peu mes explications.

Tiens, je vais peut-être demander une scission de ce fil.

Je te remercie pour tes efforts d'expression. Ce "paradoxe" est étourdissant.

Nous ne sommes pas d'accord sur la définition de l'espérance d'une variable aléatoire mais en plus je persiste à penser que la deuxième espérance n'a aucun sens puisqu'elle intervient sur une branche possible de choix au départ et ne constitue pas une expérience qu'on répète.

Ma compréhension de ce qu'est une espérance (de mémoire) avec un simple lancer de pièce :
Var = {pile, face}
Si c'est pile, je gagne 2 euros.
Si c'est face, je gagne 20 euros.
proba(pile)=proba(face)=1/2

Espérance(Var) = proba(pile) * 2 + proba(face) * 20 = 11 euros
L'espérance correspond bien au gain moyen que l'on peut attendre si l'on joue (bien sympathique car très rémunérateur).
Je dirais même plus. A la suite d'un grand nombre de lancer de dés (ex : 1 000), on va gagner environ 1000 * 11 euros soit 11 000.

P.S. J'ai 45 ans et je n'ai pas fait de telles probabilités depuis 25 ans alors peut-être que je déraille.
Il nous faudrait un matheux pour nous expliquer le "paradoxe" de ces deux raisonnements qui se contredisent. J'ai la flemme de lire des articles entiers sur ce sujet...

Non, nous sommes d'accord sur ton calcul et la définition d'espérance ne t'en fais pas. Et les maths datent aussi du lycée pour moi (il y a quasiment 20 ans).

C'est que le problème de l'enveloppe ne prend pas le cas où la connaissance du contenu est prise au départ, c'est une variante qui le ramène à nouveau et avec lui le calcul de probabilité. Si ce contenu n'avait pas été connu, j'aurais été totalement en accord avec vos démonstration à Pieyre et toi. Le fait de voir le contenu d'une enveloppe change le problème (au lieu d'avoir N possibilités équiprobables (ou pas d'ailleurs) dans chaque enveloppe (avec cette règle de x et 2x) et selon la détermination de S, on n'a plus que 2 cas possibles dès lors qu'une valeur est connue).

Pour en finir avec ce problème, je viens de surfer pas mal sur Internet et j'ai fini par trouver l'article du professeur Jean-Paul Delahaye qui explique (bien mieux que moi) exactement ce que j'ai pressenti depuis le début.
En gros, étant déjà rentré dans une branche combinatoire (choix d'une enveloppe), cette espérance a posteriori n'a pas le sens général que vous lui donnez. C'est la faille du raisonnement.

http://www.lifl.fr/~jdelahay/LNA/LNA34.pdf

Amandine me montre deux enveloppes fermées identiques A et B. Elle me dit que l’une contient une certaine somme en euros et que l’autre contient le double de cette somme, mais ne précise pas laquelle contient le plus. Elle m’offre de choisir une des enveloppes, son contenu sera pour moi. N’ayant pas de raison particulière de préférer l’une à l’autre, je choisis l’enveloppe
A. Cependant, au moment de l’ouvrir, je raisonne ainsi. L’enveloppe A contient une certaine somme, disons Y euros ; il y a une chance sur deux pour que B contienne 2Y euros, et une chance sur deux pour que B contienne Y/2 euros ; l’espérance de contenu de l’enveloppe B est donc :
2Yx1/2 + Y/2x1/2 = 1,25 Y euros

Rappelons que l’espérance est la moyenne pondérée par les probabilités de ce que je peux gagner selon les diverses éventualités
; ici c’est ce qu’on trouverait en moyenne dans B, si on recommençait l’expérience un très grand nombre de fois. L’espérance
de contenu de B étant 1,25 Y euros, et celle de A étant bien sûr de Y euros, mon intérêt est de changer mon choix et
de prendre B à la place de A. En moyenne, cela me rapportera 25% de plus.
Est-ce bien certain ? Non, c’est ridicule, car si au départ j’avais choisi B, le même raisonnement me conduirait maintenant à reporter mon choix sur A. Le raisonnement est donc faux. Mais en quoi précisément ?

Spoiler:

Mais encore une fois le cas que tu présentes là est celui où la valeur dans la première enveloppe n'est pas connue, ce qui change le problème entièrement. Le narrateur a ce raisonnement avant d'ouvrir l'enveloppe. "Cependant, au moment de l’ouvrir, je raisonne ainsi" impose l'antériorité.

C'est d'ailleurs exprimé texto : "l'erreur provient du fait qu'on considère que ce Y est fixe dans les deux cas."

Cela montre bien que le problème est différent. En effet, en cas d'ouverture, selon l'enveloppe qu'on aura choisie parmi les deux, ce ne sera pas la même valeur de Y. Le calcul d'espérance devient possible, puisqu'il y a deux cas, dont on peut déterminer la probabilité et la valeur, le truc c'est que si on a ouvert la grosse enveloppe, on perdra le pari du changement, et que si on a ouvert la petite on le gagnera. Mais ça il n'y a pas de moyen de le savoir, on ne sait pas quelle enveloppe on tient. Et donc on n'a que ce pari, à faire ou pas, de changer et espérer qu'on tenait la plus petite des deux (à moins que le contexte (fourchette de gain potentiel par exemple, nous aide pour ce choix)).

Encore une fois si la valeur de chacune des enveloppe est inconnue, il n'y a aucune erreur dans vos réflexions. Mais avec la connaissance, on passe d'un problème à une inconnue X (puisque S = X + 2X = 3X) à une question de probabilité sans inconnue, puisque le contenu d'une enveloppe est connu (reste à déterminer si c'est X ou 2X, ce qui représente bien que deux cas possibles).

On peut aussi voir la chose ainsi : dans le cas où le contenu est inconnu on tient n'importe quelle enveloppe E, dans le cas où il est connu, on tient une enveloppe précise A ou B.
C'est une différence fondamentale, puisque que cette enveloppe A ou B ne peut plus être celle qui aurait pour espérance E'...

Je vais tenter de le démontrer dans un cas pratique avec 250 et 500 :
Si tu ne sais pas ce que ton enveloppe contient. L'espérance de gain calculée, quelque soit l'enveloppe E ({250 ; 500}) et que tu ne connais pas est de E' = (250 + 500) / 2 = 375
Si tu ouvres la première enveloppe A, qui contient 250. Tu peux te dire que B contient soit 125 (c'est faux), soit 500 (c'est vrai), pour une espérance B' de 312,5.
Si tu ouvres la seconde enveloppe B, qui contient 500. Tu peux te dire que A contient soit 250 (c'est vrai), soit 1000 (c'est faux), pour une espérance A' de 625.
Tu vois, E' ne correspond ni à A ni à B (évidemment), ni à leur espérance A' et B', les problèmes sont bien différents.

Le seul truc, c'est que quand tu ouvres ton enveloppe et que tu lis 500, tu ne peux pas déterminer si tu es effectivement dans le cas présenté ou alors dans celui où les enveloppes auraient contenu 500 et 1000. Et sans élément extérieur pour te l'indiquer, tu as une chance sur deux d'être dans chaque cas.

Et encore une fois, je le rerereredis, une fois sur deux, on aurait tort de changer.

L'erreur ici est vraiment de considérer que les deux problèmes sont identiques (aussi énorme que ça puisse sembler, je sais...)

PS : Encore une fois, c'est en se coupant du contexte, en pratique, d'autres facteurs influencent une décision, par exemple, je serais plus enclin à changer une enveloppe contenant un montant impair connu plutôt que pair, parce que l'hypothèse que l'organisateur du jeu ait choisi d'en rester aux entiers ne me semble pas du tout négligeable ; de même si j'ai une deuxième décimale impair puisqu'il est rare de diviser la monnaie au delà de celle-ci, etc.

Deuxième raisonnement :
La boîte que j'ai choisie contient X. L'autre à une probabilité 1/2 de contenir 2X et une probabilité 1/2 de contenir X/2 X (sinon une boite contient 2X et l'autre X/2, rapport de 4 au lieu de 2). L'espérance mathématique est donc (2X + X/2 X)/2, c'est-à-dire 1,25 X 1,5X. J'ai donc intérêt à changer faire ce qui me plait.

c'est pas comme si un espace a 4 état faisait peur

bouh

C'est très perspicace ta version double puisque je pense que ce qui fait la différence est vraiment le référentiel où on se positionne pour la détermination de S (ou X donc), soit comme une valeur fixée (on reste sur le cas particulier), soit on passe sur un cas déterminé selon une règle ou une plage (un cas de détermination régulée). Je ne pense pas qu'un des deux cas soit faux, c'est seulement le référentiel déterminant qui diffère, c'est d'ailleurs ce qui est suggéré dans la page connexe que j'avais citée.

euh, je dis peut être une connerie mais X est une fonction, pas une valeur, on peut pas la factoriser

(2X[S] + X[2S]/2)/2 = 1,25X[?] marche pas

(2X[S] + X[2S]/2)/2 = 1,5S car X[S] = S et X[2S] = 2S marche

marche ou marche pas ?

Il ne me semble pas que X soit une fonction si le contenu de l'enveloppe est connu, c'est une valeur définie (lapalissade). Dès lors que X est inconnu seule l'espérance à 3X/2 est valable. C'est seulement la connaissance d'une valeur Xa ou Xb qui change la détermination probable de S, selon la règle qui définit celui-ci. Auquel cas, si S est déterminé de façon fixe, on reste à 3X/2, alors que si S est déterminé selon une loi aléatoire, on peut déterminer deux S équiprobables par rapport à Xa (ou Xb, dont un serait commun à ceux de Xa et l'autre serait double ou moitié), dans les marges de la règle.

une variable aléatoire est une fonction

c'est wikipedia qui le dit alors c'est vrai

Mais si tu œuvres une enveloppe et que tu vois un nombre défini, qu'est-ce qu'il a d'aléatoire ?

Dès que tu ouvres une enveloppe, tu n'as plus de X. Tu as un Xa ou un Xb qui est défini.

Le problème c'est de confondre les deux.

On peut raisonner en faisant l'inventaire des cas, comme avec le problème Monty Hall, ce qui tu avais très bien fait.

Mais, dès lors qu'on applique la formule de l'espérance, c'est qu'on a affaire à une variable aléatoire, c'est-à-dire une fonction. C'est par construction comme cela. Et le fait que l'on connaisse des informations ne change rien à cette formalisation; cela ne modifie que les probabilités associées aux valeurs prises par ces fonctions.

Cela manifeste que la notion de probabilité doit correspondre à une certaine construction pour avoir un sens, même si dans les cas simples on la conçoit de façon intuitive sans avoir à s'embarrasser d'un arsenal conceptuel.

En particulier, une variable dite aléatoire n'est pas aléatoire au sens courant : elle associe de façon déterminée des valeurs avec des probabilités (même si certaines de ces probabilités sont 0 – cas impossible – ou 1 – cas certain). Ce qui est aléatoire, c'est la valeur prise (en dehors des cas 0 ou 1); mais la probabilité associée évacue cette notion d'aléa qui pourrait signifier qu'on ne peut rien dire a priori du résultat.

Sur le plan du principe uniquement, on peut établir une analogie avec le cas d'un événement quantique : s'il correspond à une loi de probabilité, c'est qu'il s'inscrit toujours dans le cadre d'une physique déterministe.

énumérons quand je garde

X[je tire S] = S proba 1/2
X[je tire 2S] = 2S proba 1/2
esperance (S+2S)/2 = 1,5S

énumérons quand je change

X[je tire S] = 2S proba 1/2
X[je tire 2S] = S proba 1/2
esperance (2S+S)/2 = 1,5S

Ça serait pas mal de bien lire ce que j'écris sinon et ne pas me faire dire ce que je ne dis pas pour le seul principe d'avoir raison.

Il faudrait que tu précises à qui tu t'adresses. De mon côté je ne conteste pas du tout ta distinction entre deux cas (ni tes résultats bien sûr). C'est juste du côté des justifications apportées que je trouve que cela pourrait être amélioré.

enlève les enveloppes

problème réglé

A toi. Pieyre, tu me contestes sur la méthode de détermination de X' quand S est aléatoire, cas que j'ai pris a priori comme expliqué après, surtout vis à vis de la confusion qu'il y a eu entre enveloppe ouverte ou fermée, mais en te référant pour cela au cas où S est déterminé. C'est à dire précisément l'inverse de mon hypothèse de travail (j'ai abondé dans votre sens pour cet autre cas). La formule pour l'espérance face à un X déterminé et un S variable, c'est pour calculer l'espérance de X', rien d'autre. Si S est quelconque, que je vois un montant X dans une enveloppe, je sais que le montant dans l'autre enveloppe est soit la moitié soit le double (si la règle est vraie et que rien ne permet d'éliminer un des cas). Ce calcul d'espérance pour X' ne détermine rien d'autre et surtout pas la valeur de X' dans un cas particulier.

J'ajoute encore et je suis stupéfait d'avoir à le faire c'est qu'une espérance n'est pas un résultat. Si je lance une pièce et qu'elle tombe sur face, elle avait beau avoir 50% de chance de tomber sur pile au premier lancer, elle est tombée sur face et ce cas où elle serait tombée sur pile au premier lancer ne s'est pas produit. Le résultat du premier lancer est face, même si rien ne permettait de départager pile et face avant et rien ne changera ce résultat. De la même façon si A vaut equiprobablement 50 ou 100, il aura beau avoir une espérance de 75, il ne vaudra jamais 75. Mais on ne peut pas le connaître avant qu'il soit tiré.

Je ne te conteste pas du tout là-dessus, que j'ai bien compris, mais sur le vocabulaire que tu emploies. Bon, si ça ne te convient pas, excuse-moi; voilà tout.

Le vocabulaire, je ne l'ai pas. Je m'excuse si je reste confus par moment, mais j'essaie toujours de clarifier quand c'est le cas et de démontrer de plusieurs façons pour éviter au max les confusions. Mais des maths de qualité académique, je n'en ai plus fait depuis le bac S maths et vu l'élève que j'étais sans doute depuis quelques années avant encore. Après j'ai obliqué vers l'art parce que la rigueur m'emmerdait justement.

Peut-etre que je devrais arrêter de communiquer si mon lexique est mauvais après, mais j'ai pas l'impression que ma logique et mes démonstrations soient si confuses que ça. J'essaie toujours d'expliquer le plus simplement, selon ma conception biaisée du simple cela dit. Je préfère un mauvais mot conceptualisable pour un profane, qu'un parfait mot tout à fait rigoureux qui n'inspirera rien sinon à ceux pour qui l'idée qu'il recouvre est déjà banale.

On est sur un forum généraliste, pas sur un forum de maths, on est même pas dans une section sérieuse. On peut essayer de s'attacher au fond des choses plutôt qu'à la forme, non ? Si tu t'expliques mieux avec des bitoniaux, pourquoi emmerder les gens avec des équations ?

-

la solution est pourtant toute simple :

- si le montant découvert dans la 1ere boite me suffit, alors je garde cette boite, car je n'ai pas besoin de plus et l'avarice est mere de perdition.
- si le montant découvert ne me suffit pas, alors je change de boite, et si j'ai moins ce n'est pas grave car de toute facon je n'avais pas assez, donc pas assez /2 = toujours pas assez
Et si j'ai plus, alors je suis gagnant et j'aurais peut etre assez pour etre content
- quoiqu'il arrive, j'aurais toujours plus d'argent qu'avant !

moralité :
- l'essentiel c'est de jouer pas de gagner
- quand on a rien a perdre, et rien engagé pour jouer, on ne peut que gagner.
- quand on fait trop de maths on qu'on se perd dans des choses abstraites, on perd le sens de la realité et de la beauté de la vie.

voila, cqfd les matheux :p


"Si tu t'expliques mieux avec des bitoniaux, pourquoi emmerder les gens avec des équations "
mdr j'adore ! et j'aimerai bien voir une démonstration avec des bitoniaux, ca doit etre genial !

.

l'esperance c'est pas ce qui fait jouer au loto ?

comment des scientifiques peuvent ils se baser sur une 'espérance' ?
n'est-ce pas paradoxal de rejeter la foi dans ce cas la ?

tu sais que tu peux éditer ton message pour le compléter ? (un seul pas drôle suffit amplement)

edit :

, mais quand tu parles, est ce que tu peux revenir dans le temps pour corriger ta parole 3 phrases avant ?

nan mais tu peux toujours prendre le temps de réfléchir avant de l'ouvrir ! et à l'écrit c'est encore plus facile du coup

-Olivier- a écrit:tu sais que tu peux éditer ton message pour le compléter ? (un seul pas drôle suffit amplement)

haha, tu as raison, c'etait pas tres drole mais c'etait pas le but, une enigme qui a des contraintes trop limitatives n'est pas marrante non plus, si on a plus le droit d'imaginer hors du contexte, a quoi cela sert de rever alors?

quand tu parles, est ce que tu peux revenir dans le temps pour corriger ta parole 3 phrases avant ?

oui mais réflechir est épuisant, je ne reflechis que quand c'est nécessaire, sinon je préfère la spontanéité (et puis cela m'aide a gagner des étoiles sur le coté:p )
à force de tout vouloir optimiser on rate tout le reste...

Cyril THQI a écrit:Edit modo : ce fil est issu d'une scission du fil sur le problème de Monty Hall. Le message de Cyril faisait initialement suite à ce message.

Nicolas, ton problème me fait penser à un autre problème de probabilité et de choix qui m'a rendu très perplexe. Sans doute le connais-tu :

Soit 2 boîtes, contenant chacune une somme d'argent.
L'une des boîtes contient le double de l'autre.
Vous allez pouvoir emporter le contenu d'une boîte.
Vous choisissez une boîte.
Vous l'ouvrez.
Vous y découvrez une somme X.
L'organisateur du jeu, qui ignore quelle boîte vous avez ouverte vous donne le choix d'en changer (comme dans le problème de Monty Hall.
Que faîtes-vous ?

2 raisonnements incompatibles peuvent alors être faits :

Premier raisonnement :
La probabilité d'avoir choisi, la meilleure boîte est 1/2 et il est indifférent de changer.

Deuxième raisonnement :
La boîte que j'ai choisie contient X. L'autre à une probabilité 1/2 de contenir 2X et une probabilité 1/2 de contenir X/2. L'espérance mathématique est donc (2X + X/2)/2, c'est-à-dire 1,25 X. J'ai donc intérêt à changer.

Je suis convaincu que le deuxième raisonnement est fallacieux, mais je ne parviens pas à le démontrer.

il me semble que la formule de l'espérance mathématique ne reprend que la partie positive, soit de gagner 2x soit de conserver x/2 ou il y aussi un risque de perde x sur 2x donc

(2x-2x/2)2 soit 1 fois x indifférent

pas certain sur ce coup ci

@ZebMckay11 : je n'ai pas réussi à prouver quoi que ce soit dans mes messages précédents. Je reste "collé" à l'idée que cette espérance n'a pas de sens mais il faudrait qu'un vrai matheux nous aide.

Cyril THQI a écrit:Deuxième raisonnement :
La boîte que j'ai choisie contient X. L'autre à une probabilité 1/2 de contenir 2X et une probabilité 1/2 de contenir X/2. L'espérance mathématique est donc (2X + X/2)/2, c'est-à-dire 1,25 X. J'ai donc intérêt à changer.

Je suis convaincu que le deuxième raisonnement est fallacieux, mais je ne parviens pas à le démontrer.

Effectivement le raisonnement est fallacieux, parce que tu choisis délibérément de travailler avec certaines données en les appliquant à une seule hypothèse (c'est la classique erreur dûe au langage).
Or le résultat de ton calcul s'applique aux deux choix possibles, et non à un seul.
Les chances sont donc équivalentes pour chaque hypothèse.