Le game

Et en faisant cela vous prenez un risque

C'est juste un risque différent d'explorer un fond marin

Mais dans un monde où le regard de l'autre est tout

Vous risquez de ternir votre image sociale.

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(1 - x)(a + b) + (x * a * x * b)

Donc nous avons une opération possible intermédiaire entre

L'addition et la multiplication

Avec un coefficient que nous allons appeler r plutôt que x

(1 - r)(a + b) + (r * a * r * b)

Premièrement l'on voit que si l'on interchange a et b l'on obtient la même chose donc cette opération est commutative

L'on peut la noter a +|* b

Bref est-elle associative

a chose(r) b = (1 - r)(a + b) + (r * a * r * b) = abr^2 - (a + b) * r + a + b

(a chose(r) b) chose(r) c

[L'on peut remplacer chose par chaise à un moment si l'on veut s'asseoir]

(abr^2 - (a + b) * r + a + b) chose(r) c

On va prendre la forme factorisée plutôt

((a + b)(1 - r) + abr^2) chose(r) c

[((a + b)(1 - r) + abr^2) + c](1 - r) + ((a + b)(1 - r) + abr^2)cr^2

Bon essayons d'abord avec un exemple

2 truc(0,5) 3 = 4

4 truc 5 = 9 *,5 + 4 * 5 / 4 = 4,5 + 5 = 9,5

Maintenant 3 truc 5 = 8 *.,5 + 3 * 5 / 4 = 4 + 3,75 = 7,75

2 truc 7,75 = 9,75 *, 5 + 2 * 7,75 / 4 = 4,875 + 3,875 = 8,75

Donc sauf erreur de calcul ce n'est pas associatif dans le cas général

Bien j'ai fait les calculs sur papier

J'vous donne directement la différence

Les deux expressions sont égales si cr * (r - 1) = ar * (r - 1)

Donc si a = c ou r = 0 ou r = 1

r = 0 représente l'addition et r = 1 représente la multiplication

Donc c'est normal que dans ces deux cas ce soit associatif

À part ça l'on voit que a truc (b truc a) = (a truc b) a

Résultat que l'on pourrait démontrer par la commutativité

a truc b = b truc a (par commutativité)
a truc (a truc b) = (a truc b) truc a (par commutativité)

Donc l'on remplace dans le membre de gauche de la seconde équation (a truc b) par (b truc a) (dont l'égalité nous est donnée par la première équation)

Et l'on obtient a truc (b truc a) = (a truc b) truc a

Mais ceci n'est pas suffisant pour démontrer que l'associativité n'est présente que dans ce cas

C'est la fameuse expression

"nécessaire et suffisant"

Ou encore "si et seulement si"

Des questions

Nous allons maintenant étudier la distributivité

Donc sauf erreur

Ce n'est pas distributif

a lachose b + a lachose c = a lachose (b + c) + a * (1 - r)

On pourrait faire le même genre de relation avec les équations précédentes

(a truc b) truc c - a truc (b truc c) = (a - c) * r * (r - 1)

Vérification