Division Qui aime la physique ou les mathématiques pour pinailler à l'infini ?

Il me parait important d'insister sur le fait que 0.99... n'est pas un nombre car cet "objet" n'appartient à aucun ensemble de nombres. C'est un développement décimal impropre que quelques mathématiciens tolèrent par "faiblesse".

Quand je dis que 0.99... n'est pas un nombre, je ne parle pas des nombres de la suite/série pris un par un, mais de la suite/série elle-même
(d'ailleurs aucun nombre de la suite pris tout seul ne s'écrit 0.9...9 =1)

De plus, il n'y a aucun sens à imaginer que 0.99... ait un dernier élément qui se termine par un 9, bien que ce 9 reste hypothétique, ce dernier 9 n'existe pas, encore moins en tant que 9 car il faudrait un infinitésimal pour combler la différence avec 1.

Donc je dis que 0.99... est une approximation qui permet d'obtenir 1 comme valeur exacte
On ne peut pas dire que 0.99... est un nombre ni une valeur exacte de 1.
1 est le seul nombre dans l'égalité 0.99... = 1

C'est la propriété d'Archimède de IR qui assure une sorte de continuité entre le "nombre hypothétique" 0.99... et le nombre réel 1 et qui permet l'identité mathématique.

Est-ce que la tendance est à l'acceptation des développements décimaux impropres pour "officialiser" la non unicité des développements décimaux des nombres rationnels ?
Parce que j'ai remarqué que c'est de plus en plus mal vu de dire que 0.99... n'est pas un nombre.

Merci d'avance si quelqu'un répond (un.e mathématicien.ne de préférence).

Pour les curieux :
0,999…
https://fr.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6

C'est écrit où la réponse qui dit que c'est un nombre ?

(Je ne remets en aucun cas en doute l'égalité 0.99...=1)

Des esprit rigoureux ont montré qu'il s'agissait d'un raton laveur.

(Je ne remets en aucun cas en doute l'égalité 0.99...=1)

Il parait que mon insistance à dire que 0.99... n'est pas un nombre est vue comme une répétition en boucle des mêmes choses déjà réfutés par des explications, et donc comme le fait que je m'oppose à explications et liens qu'un certain nombre de personnes me fournissent pour prouver le contraire.
Je tiendrais apparemment des propos qui relève de confusions mathématiques parce qu'on m'a prouvé que les nombres appartenant à la suite pris un par un existent. Mais moi je parle de la suite elle-même 0.99... qui ne peut pas être un nombre. Donc je ne vois pas pourquoi le fait qu'un nombre de type 0.9....9 existe prouve que 0.99... est un nombre

Moi aussi j'ai fourni des liens mais ils n'ont pas été pris en compte.

On va me faire boire la ciguë ?

C'est écrit où la réponse qui dit que c'est un nombre ?

Dès la première phrase, mais pour plus de clarté je copie également la deuxième phrase.

0,999…
En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999…, (...) représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. ...

L'égalité 0,999… = 1 (...) Certains la rejettent, à cause de leur « intuition » que chaque nombre a un développement décimal unique, qu'il doit y avoir des nombres infinitésimaux non nuls, ou bien que le développement 0,999… finit par se terminer. Ces intuitions sont erronées dans le système des nombres réels (...)
...
https://fr.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6

Tu fais l'erreur de penser qu'il y aurait un 'dernier' 9. Ce serait comme dire qu'une droite aurait un dernier point. Une droite ne peut pas avoir de dernier point, parce que ce serait alors une demi-droite ou un segment. Il n'y a pas de 'dernier' 9 à 0,99999...

"représente un nombre "ne veut pas dire que c'en est un

Jamais je n'ai fait l'erreur de penser qu'il pouvait y avoir un dernier 9

horizon artificiel a écrit:

De plus, il n'y a aucun sens à imaginer que 0.99... ait un dernier élément qui se termine par un 9, bien que ce 9 reste hypothétique, ce dernier 9 n'existe pas, encore moins en tant que 9 car il faudrait un infinitésimal pour combler la différence avec 1.

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Au cas où, je n'ai jamais dit non plus que ce n'était pas un développement décimal



C'est justement les nombres 0.999....9 de la série qui existent comme nombres mais pas la série 0.99.... et justement parce qu'il ne peut pas avoir de dernier 9


par contre pour 0.33... ou 0.66... ce sont bien des nombres même si ils n'ont pas de dernier 3 ou 9 et justement parce que là je parle des développements décimaux propres de 1/3 ou 2/3 et non de séries infinies

0.99... est un développement décimal impropre

Topsy Turvy a écrit:C'est écrit où la réponse qui dit que c'est un nombre ?

Dès la première phrase, mais pour plus de clarté je copie également la deuxième phrase.

0,999…
En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999…, (...) représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. ...

L'égalité 0,999… = 1 (...) Certains la rejettent, à cause de leur « intuition » que chaque nombre a un développement décimal unique, qu'il doit y avoir des nombres infinitésimaux non nuls, ou bien que le développement 0,999… finit par se terminer. Ces intuitions sont erronées dans le système des nombres réels (...)
...
https://fr.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6

Tu fais l'erreur de penser qu'il y aurait un 'dernier' 9. Ce serait comme dire qu'une droite aurait un dernier point. Une droite ne peut pas avoir de dernier point, parce que ce serait alors une demi-droite ou un segment. Il n'y a pas de 'dernier' 9 à 0,99999...

Une notation de nombre n'est pas forcément un nombre.

0.99... est la notation sous forme de développement décimal impropre de 1


Et pour l'analogie avec la droite, c'est pas ça, justement le dernier point c'est la borne et c'est 1
par contre ya pas d'avant-dernier point.


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j'aimerais bien qu'on arrête de dire des trucs à ma place comme quoi j'aurais imaginé l'existence d'un dernier 9
S'il existe c'est seulement d'une façon hypothétique dans la "structure" de la série elle-même.

Topsy Turvy a écrit:Pour les curieux :
0,999…
https://fr.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6

Elle n'est pas curieuse, ne lit rien de ce qu'on lui répond et reste frénétiquement accrochée sur ses croyances.
La médecine (idéalement douce et alternative) est la seule solution.

Donc toi non plus tu ne vois pas la différence entre un développement décimal propre et un développement impropre ?


https://www.math.u-bordeaux.fr/~rcoulang/capes/0910/devt_decimal.pdf

la différence entre un développement décimal propre et un développement impropre

Je vois la différence et ça ne change rien à ma considération du nombre en question.


Une notation de nombre n'est pas forcément un nombre.

Ça dépend de ce qu'on appelle nombre.

Un nombre est un concept mathématique permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments en indiquant leur rang. ...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre


0.99... est la notation sous forme de développement décimal impropre de 1

Et 1 est une autre notation du même nombre, de même que 4/4 par exemple.

Perso, je me fiche en général des descriptions des nombres, même si c'est souvent marrant.

Et si tu veux considérer une égalité entre un nombre et un raton laveur, fais-toi plaisir.

Si c'était un nombre ce serait un rationnel ?

Après c'est sûr que la rigueur mathématique n'a plus l'air tellement à la mode.




Au départ j'avais précisé que j'aurais aimé la réponse d'un.e mathématicien.ne

Réel.

Confiteor, THQI qui a étudié et enseigné les maths, en a marre, tu soûles.
Pas besoin d'être mathématicien.ne, il faut juste être infiniment patient.e.
Perso, si je réponds, c'est pour ne pas laisser trop de bordel en clair sur zc.


Une notation de nombre n'est pas forcément un nombre.

Ça, par exemple, c'est une notation de nombre sans nombre :

<3

Comme on est dans J'aime les sciences, il faut préciser, c'est ça :



Il va sans dire, mais mieux en le disant, que mon coeur ne bat pas pour tous ici.

Et il n'y a que Confiteor comme mathématicien sur zc ?

Je suis en train de me dire que si Archiloque était là il interviendrait pour dire un truc intéressant.

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Il n'y a pas de développement décimal périodique illimité parmi les irrationnels
Donc si 0.99... était celui (propre) d'un réel, ce serait celui d'un rationnel.

Topsy, tu m'as fait sursauter, puis rougir de confusion.

C'est assez étrange.
Je le sais, puis je "l'oublie" en quelque sorte. Et alors je cesse d'en tenir compte dans mon rapport à autrui, avec tous les quiproquos que tu peux imaginer. Je communique trop souvent sans tenir compte de ce qui devrait être une évidence.
Ouin, ouin, ouin, je suis alors un incompris (au sens strict).

Je n'arrive pas à intégrer dans mon système 1 la réalité de cet écart à la norme, même si mon système 2 n'hésite pas.
Trop bizarre cette dissonance cognitive qui m'a occasionné tant de nuisances (et parfois des éclats de rire rétrospectifs).

horizon artificiel a écrit:(Je ne remets en aucun cas en doute l'égalité 0.99...=1)

Il parait que mon insistance à dire que 0.99... n'est pas un nombre

Je profite de mon absence de connaissances pour, donc si 0,99 était un nombre, il serait égale à 1 en permanence?
A moins de considérer qu'il s'agisse du problème du dé, oui d'aucun condisère qu'à chaque lancé la probabilité est remise à 0.
Pourtant le dé ne s'arrête jamais?

la démonstration est clair même pour qqn qui n'a aucune base en maths, non? :
https://fr.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6

Comme personne d'autre ne répond, je propose des éléments de réponses. Les copains ont déjà répondu ailleurs, de manière plus complète et plus précise, je réponds ici à un niveau plus basique.

Parenthèse hors sujet avec le dé :

si 0,99999… était un nombre, il serait égal à 1 en permanence

C’est un nombre, égal à 1, oui. C’est le même nombre, noté différemment.  

(On peut aussi chercher ce qui devrait se glisser entre 0,99999.. et 1 s’ils n’étaient pas égaux. Ce qui devrait se glisser entre les deux, c’est 0,00000… Donc rien. Il n’y a rien entre eux parce qu’ils sont égaux.)


Tout nombre décimal qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule peut s'écrire de plusieurs manières. On utilise en général la manière considérée la plus simple ou la plus pratique, qui peut dépendre du contexte.

Exemple avec 1 :

Autre exemple avec 1,25 :

Avec le nombre zéro, on a par exemple les notations suivantes :

0 = 0,00000… = −0,00000…

(Les chiffres 9 n’apparaissent pas pour le nombre 0, pour lequel le signe − donne la notation « non standard ».)


la démonstration est claire

Oui, et l’interlocutrice a déjà eu pas mal de retours précis sur le sujet, mais je peux essayer de pointer où serait son problème.

De manière générale, pour ce que j’en ai observé, elle semble chercher a ‘raisonner’ sur des concepts ‘élaborés’, sans maîtriser les notions de bases. Elle fait donc des raccourcis décapants, qui conduisent à des horreurs, en plus d’impasses. Plutôt que de consolider ses bases, prendre du recul, tenir compte des retours, elle s’obstine dans ses ‘raisonnements’ foireux. (Ce qui rend, à mon avis, le forum moins intéressant et moins sympa, mais ça c’est mon avis.)

Ici, elle semble s’accrocher aux définitions simples d’ensembles de nombres (N, Z, D, Q, R, etc) et elle constate que la valeur 0,99999… n’entre dans aucune de ces définitions. Plutôt que de remettre en question son appréhension des objets qu’elle veut manipuler, elle en déduit ce qui l’arrange, par exemple que 0,99999… ne serait pas un nombre. J’imagine qu’elle tire un bénéfice à se sentir ‘plus maline’ que les autres (ses interlocuteurs, les mathématiciens, etc.), qui seraient forcément dans l’erreur parce qu’elle aurait forcément ‘pensé à tout’.

Si on utilise une autre définition des réels, on bloque moins :

...
En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière munie d’un signe positif ou négatif, et une liste finie ou infinie de décimales*.
...

*Certaines listes infinies de décimales peuvent être qualifiées de « non standard » si tous les chiffres sont égaux à 9 à partir d’un certain rang. Dans ce cas, le réel considéré est un nombre décimal et admet aussi une écriture standard comportant un nombre fini de décimales.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_r%C3%A9el#cite_note-3

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_r%C3%A9el

Ce qui complète le passage qu’HA brandit comme preuve de ses idées à elle :
tout nombre réel peut s’écrire sous cette forme de façon unique.
[Voir page 52 du PDF en lien ci-dessous la formule (2.96), ainsi que la phrase qui précède et celle qui suit cette formule.]
https://www.math.univ-paris13.fr/~ausoni/scripts/poly-ism2019.pdf

Tout nombre réel PEUT s’écrire sous une forme unique. Ça ne signifie pas qu’on DOIT le faire pour qu’un nombre soit considéré réel.

On peut écrire le même nombre de diverses manières.
Par exemple, pour exprimer la valeur 'un', on peut noter :
2/2 ; 0.99999… ; 1.0 ; 1 ; …

On PEUT écarter les notations de nombres qui n’apportent rien, une écriture  « non standard » d'un nombre n'empêche pas celui-ci d'être un nombre.

Bref, 0.99999… est un nombre, même si on note habituellement 1 à sa place (de même qu'on écrit 0 plutôt que −0).

C’est un nombre réel, probablement considéré comme un entier (pour 0,99999... pa exemple) et comme un décimal (pour 1,2499999... par exemple), même si la définition simple de décimal voudrait un nombre fini de décimales et la définition simple d'entier aucune décimale.

0.99999… est un nombre, même si on note habituellement 1 à sa place

C'est par souci écologique : économiser l'encre.

par souci écologique

Non, c’est parce que le chiffre 1 est le point de départ, le pouce bleu levé, l'entaille dans le doigt du maladroit, c'est à la portée de n'importe qui, alors que le 9 invite à la transcendance, à dépasser les limites établies et à toucher à l’universel, ce qui n’est pas donné à tout le monde.

J'ajoute que 999 n'est pas non plus un nombre, c'est un signe des anges gardiens.

Topsy Turvy a écrit: 999 n'est pas non plus un nombre, c'est un signe des anges gardiens.

Plutôt 666  

Zorg a écrit:

Topsy Turvy a écrit: 999 n'est pas non plus un nombre, c'est un signe des anges gardiens.

Plutôt 666  

Il faut vraiment une intervention divine (ou alors un TRES bon directeur de la photographie) pour faire paraitre Clavier plus grand que Depardieu.

Merci pour le retour Topsy Turvy, y compris pour le pdf partagé pour comprendre un peu.

En attendant, je ne sais pas si c'est pour raison écologique , mais effectivement, contrairement au nombre, je n'arrive pas à concevoir qu'un dé puisse dormir.

Complément autour de zéro, parce qu'il y a pas mal d'informaticiens par ici :

Zéro signé
Le zéro signé est un zéro accompagné d'un signe. En arithmétique ordinaire, le nombre 0 n'a pas de signe, de sorte que −0, +0 et 0 sont identiques. Cependant, en informatique, certaines représentations des nombres admettent l'existence de deux zéros, souvent notés −0 (zéro négatif) et +0 (zéro positif), considérés comme égaux par les opérations de comparaison numérique mais avec des comportements différents possibles dans des opérations particulières. ...
...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Zéro_signé

... à l'infini et au-delà.

Topsy Turvy a écrit:Complément autour de zéro, parce qu'il y a pas mal d'informaticiens par ici :

Zéro signé
Le zéro signé est un zéro accompagné d'un signe. En arithmétique ordinaire, le nombre 0 n'a pas de signe, de sorte que −0, +0 et 0 sont identiques. Cependant, en informatique, certaines représentations des nombres admettent l'existence de deux zéros, souvent notés −0 (zéro négatif) et +0 (zéro positif), considérés comme égaux par les opérations de comparaison numérique mais avec des comportements différents possibles dans des opérations particulières. ...
...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Zéro_signé

... à l'infini et au-delà.

Très important en informatique bancaire sur mainframe (oui, il y en a encore pas mal). La plupart des programmes sont en COBOL (ou doivent gérer ses formats), et les CPU sont optimisés pour le binaire codé décimal - bien plus performant que la virgule flottante (le standard, très utilisé notamment en calcul scientifique, mais aussi en jeu vidéo, et dans la plupart des application hors comptabilité) pour les montants en devises, qui sont à virgules fixe.

Un nombre en binaire codé décimal, en COBOL, utilise dont un demi octet (16 valeurs possibles) pour chaque chiffre (10 valeurs possibles, on perd de la place, mais c'est assumé), plus un demi-octet à la fin pour le signe. Signe qui sera C (12 en hexadécimal, mais aussi C pour crédit) pour +, D (13 en hexadécimal, mais aussi D pour débit), et F (15 en héxadécimal) pour un entier non signé, assumé positif.

mettons qu'on a un nombre sur deux octets, donc trois chiffres
+114 sera représenté 11 4C en mémoire
-86 sera représenté 08 6D
0 sera représenté 00 0F

Bien évidemment, lors d'opérations mathématiques (on se limite aux quatre opérations, en bancaire, et encore, les divisions, on aime éviter), 00 0F, 00 0D et 00 0C auront rigoureusement identique.

Oh, merci pour le complément de complément !

J'ajoute un lien vers un échange dont j'aime bien la réponse la plus plébiscitée (celle d'Alon Amit), pour revenir sur le nombre 0.99999...
https://www.quora.com/Is-0-999-dots-1-in-the-hyperreals

RAS