Une theorie de psycho-geographie sur laquelle je travaille depuis des années

Bonjour,

Tout commence en 2006, année où j'ai entamé les recherches sur cette théorie.
Depuis, j'ai bien progressé, deux publies et je vois le bout du tunnel.

Cette théorie a pour objet simuler la dynamique de la ville. Elle comporte de nombreuses analogies avec la physique mais également touche à la micro-psychologie spatiale.

Commençons par fixer le décors. Notre ville se développe dans un espace plan entièrement accessible en tout lieu. Le lieu est habité par des individus qui se répartissent comme dans toute ville selon un modèle bien connu issu d'un phénomène de maximisation d'entropie.
On note que D(x) = Dexp(-ax)
avec D densité de population présente au centre ville, a le gradient de densité D(x) la densité de population à une distance x du centre.

Un individu situé à une distance x du centre perçoit l'espace de manière égocentrée. A savoir, ce qui lui est proche lui parait plus important que ce qui est loin soit L(u) = Lr^u
L(x) la taille de l'espace, L taille de l'espace à l'emplacement de l'individu, r gradient de decroissance de la taille et u distance à l'individu.
Pour une distance donnée x au centre de la ville, il existe Dexp(-ax) individus.
pour une distance x+ 1, il y aura un autre groupe d'individus dont la perception sera de L. En x, elle sera donc Lr
pour une distance x+2, il y aura un autre groupe ---------------------------------------------------------------------Lr²
et ainsi de suite
ainsi si on somme l'ensemble des perceptions en x, on aura U(0,x) = Dexp(-ax)[*L+Lr+Lr²+...+Lr^x] = Dexp(-ax)*(1-r^x)*(1/(1-r))
Maintenant, il faut sommer I(0,x) = sum(0,x) Dexp(-ax)*(1-r^x)*(1/(1-r)) = D/(1-r)[(1-exp(-a(x+1))/(1-exp(-a))-(1-exp(-a(x+1))*r^(x+1)/(1-exp(-a)*r)]
Cette expression I(0,x) représente la distance dite "proxémique" pour se rendre au centre de la ville. Elle dépend de x la distance physique à la ville
A présent substituons notre espace euclidien actuel par cet espace proxemique urbain. Cela se justifie car la substitution dans le modèle de densité de x par I(0,x) permet de gommer la discontinuité urbain périurbain. On obtient donc alors un continuum.

De fait l'espace tel qu'il fonctionne economiquement repose sur des dimensions non euclidiennes.
A partir de I(0,x), il est possible de montrer que :
dI/dx = A*[1-b*I]

Dans cet espace "proxemique" caractérisé par cette equation dI/dx = A*[1-b*I]
il existe des mouvements routiers et de domicile.
D'apres la dynamique des fluides, la circulation des flux routiers se caractérise par 3 grandeurs :
- Vi = la vitesse
- Qi le débit
- Ki la concentration ou nombre de véhicules par unité de distance
Or on a montre que Qi = KiVi
Qi = - cKi² + dKi ou encore Vi = -cKi + d
On a enfin une dernière relation dynamique cette fois ci la somme des véhicules arrivant en i est égale à la somme des véhicules qui en parte soit
dQi/dx + dKi/dt = 0. On montrera en réalité qu'un flux intermédiaire est produit par les habitants de la ville en i soit
dQi/dx + dKi/dt = R
On montre donc dKi/dt = R - dQi/dx
D'après la gravitation universelle, chaque masse de population emet un flux donc Qi = Ggi avec gi densité de population
donc Qi = GDexp(-ax)
Or x la distance à la ville doit être substituée par la distance proxemique soit I
on a donc
Qi = GDexp(-aI)
donc
dQI/dx = -aGDexp(aI)*dI/dx= -A*a*G*D*[1-b*I]exp(aI) = -A*a*G*D*[1-b*I]*gi
On en déduit que dKi/dt = R + A*a*G*D*[1-b*I]gi

On avait montré que Vi = -cKi + d donc dVi/dt = -cdKi/dt = - cR - c*A*a*G*D*[1-b*I]gi
On peut donc simplifier en ecrivant :
dVi/dt = -M*gi*(1-bI) - N

D'après newton, sum force en i = tdVi/dt
Les mouvements se font de manière radiale vers la ville donc si on applique un repère de Frenet
F = -tVi²/dx or il existe une force F la gravitation Ggi = -tVi²/dx soit gi = t*(1/Gdx) d'ou dgi/dt = -2t*(1/Gdx)Vi*dVi/dt
dgi/dt = 2t*(1/Gdx)*M*gi*Vi*(1-bI) - N*Vi*2t*(1/Gdx)
On peut donc ecrire dgi/dt = E*gi*Vi*(1-bI) + F*Vi
Enfin il reste à exprimer I
par definition gi = Dexp(-aI) donc I = -(1/a)*ln(gi/D) donc dI/dt = - (1/a)*(1/gi)dgi/dt
soit dI/dt = -(1/a) *[E*gi*Vi*(1-bI) + F*Vi]*(1/gi)
soit dI/dt = -W *[E*gi*Vi*(1-bI) + F*Vi]*(1/gi)

On a donc une dynamique au lieu i qui s'exprime selon le vecteur suivant :
dVi/dt = -M*gi*(1-bI) - N
dgi/dt = E*gi*Vi*(1-bI) + F*Vi
dI/dt = -W *[E*gi*Vi*(1-bI) + F*Vi]*(1/gi)

Ça me paraît intéressant mais je crois qu'il va te falloir faire un énorme effort de pédagogie si tu veux être compris (à moins que tu ne cherches juste des partenaires au fait de ce genre de recherches).

Je suis mathématicien; aussi les formules ne me paraissent pas bien compliquées; mais je décroche tout de suite.

Déjà, parler de D(x) ou de L(u) comme une notion, n'est-ce pas un abus de langage ? La notion, c'est la fonction (ici D ou L) et non sa valeur en sa variable. Aussi, on ne peut pas utiliser la même lettre (D ou L) pour une valeur et pour une fonction.

Par ailleurs, quand tu emploies Vi, Qi, Ki et gi, est-ce que la lettre i est en indice plutôt qu'en multiplicande ? mais en indice de quoi ?

Et puis, bon, si tu te soucies de l'écriture mathématique, je te rappelle que la barre d'outils de la fenêtre d'écriture des messages permet de mettre en forme graphique les exposants et les indices, et que l'on peut utiliser le symbole × (ou le point) plutôt que l'astérisque pour la multiplication.

Ce sont des détails sans doute (comme utiliser sum en place de somme, enfin !) parce que l'essentiel est ailleurs : te serait-il possible d'agrémenter tes explications par des schémas, même faits à la main ? et même par des développements concernant des conséquences pratiques ?

Pieyre a écrit:Ça me paraît intéressant mais je crois qu'il va te falloir faire un énorme effort de pédagogie si tu veux être compris (à moins que tu ne cherches juste des partenaires au fait de ce genre de recherches).

Je suis mathématicien; aussi les formules ne me paraissent pas bien compliquées; mais je décroche tout de suite.

Déjà, parler de D(x) ou de L(u) comme une notion, n'est-ce pas un abus de langage ? La notion, c'est la fonction (ici D ou L) et non sa valeur en sa variable. Aussi, on ne peut pas utiliser la même lettre (D ou L) pour une valeur et pour une fonction.

Par ailleurs, quand tu emploies Vi, Qi, Ki et gi, est-ce que la lettre i est en indice plutôt qu'en multiplicande ? mais en indice de quoi ?

Et puis, bon, si tu te soucies de l'écriture mathématique, je te rappelle que la barre d'outils de la fenêtre d'écriture des messages permet de mettre en forme graphique les exposants et les indices, et que l'on peut utiliser le symbole × (ou le point) plutôt que l'astérisque pour la multiplication.

Ce sont des détails sans doute (comme utiliser sum en place de somme, enfin !) parce que l'essentiel est ailleurs : te serait-il possible d'agrémenter tes explications par des schémas, même faits à la main ? et même par des développements concernant des conséquences pratiques ?

Merci pour cette réponse rapide, je répondrai quand j'aurais plus de temps libre.

cylt21 a écrit:
Tout commence en 2006, année où j'ai entamé les recherches sur cette théorie.
Depuis, j'ai bien progressé, deux publies et je vois le bout du tunnel.

Interessant  donc un modèle mathématique psycho-géographique d'urbanisme ...      Tu dis avoir déjà 2 publis là-dessus ?    Alors est-ce que tu peu nous envoyer un lien vers un texte écrit dans un format qui supporte les equations ?    Dans le pire cas, il y a un éditeur latex online qu'un gars sympa du forum à balancé ici et qui est bien utile : http://www.sciweavers.org/free-online-latex-equation-editor.
Sérieusement, il me semble aussi que ce serait plus interessant de commencer par expliquer ce que tu cherches à faire, le phénomène que tu veux expliquer, et de faire la liste des hypothèses sur lesquelles tu te bases pour construire un modèle simple se concentrant sur l'essentiel de ce que tu veux faire ressortir.  
Il faut justifier un minimum les hypothèses, mais ce n'est pas grave si certaines d'entre elle restent un peu "irréalistes" (et ne sont pas là que pour avoir des équations simples), du moins si on arrive quand même à justifier que l'on capture ce qui a d'important dans le phénomène.  Il faut juste pouvoir convaincre que d'introduire plus de rafinement dans les équations serait superflu en égard au but que tu te donnes.  

Donc il vaut mieux avoir un but relativement modeste et le circonscrire suffisamment.

cylt21 a écrit:Cette théorie a pour objet simuler la dynamique de la ville. Elle comporte de nombreuses analogies avec la physique mais également touche à la micro-psychologie spatiale.

Commençons par fixer le décors. Notre ville se développe dans un espace plan entièrement accessible en tout lieu. Le lieu est habité par des individus qui se répartissent comme dans toute ville selon un modèle bien connu issu d'un phénomène de maximisation d'entropie.

Les individus se répartissent-ils dans une ville de manière à maximiser l'entropie ?    Je ne le pense pas:  les villes sont des structures organisées.
Typiquement dans ce type de système, lorsque l'entropie est nulle, on a une structure parfaitement organisée décrite simplement. Lorsque l'entropie est maximal, c'est comme dans un gaz, la structure locale interessante est détruite pour laisser la place à un ordre statistique à grande portée.  

Ceci dit, il y a plusieurs notions d'entropies possibles aussi, il faut voir.   Mais sinon bof, supposons, ce n'est qu'une hypothèse de travail.

cylt21 a écrit:
On note que D(x) = Dexp(-ax)
avec D densité de population présente au centre ville, a le gradient de densité D(x) la densité de population à une distance x du centre.

Un individu situé à une distance x du centre perçoit l'espace de manière égocentrée. A savoir, ce qui lui est proche lui parait plus important que ce qui est loin
.....ainsi si on somme l'ensemble des perceptions en x, on aura U(0,x) = ...   Cette expression I(0,x) représente la distance dite "proxémique" pour se rendre au centre de la ville. Elle dépend de x la distance physique à la ville
A présent substituons notre espace euclidien actuel par cet espace proxemique urbain. Cela se justifie car la substitution dans le modèle de densité de x par I(0,x) permet de gommer la discontinuité urbain périurbain. On obtient donc alors un continuum.

L'hypothèse disant que chacun voit son voisinage comme plus important que le reste, même si ce pourrait être pertinent à une époque pré-informatique, je doûte qu'aujourd'hui ça puisse être ainsi.    Mais c'est pas grave, supposons qu'on soit au 19e siècle.  

En tout cas, ça ressemble un peu à la manière de modéliser un champ de perception  dans certains modèles de vision.  ( Les neurones répondent en fonction de la proximité )

cylt21 a écrit:ainsi si on somme l'ensemble des perceptions en x, on aura U(0,x) =  ...

 Je comprends mal pourquoi on somme.. les champs de perception de toute la population.  J'aurais pensé que les gens auraient dû suivre leur propre perception plutôt qu'une "perception sommée sur toute la ville"..  Je ne vois pas ce que ça veut dire.  
Ensuite, tant qu'à sommer, pour pas faire une intégrale ? Mais alors tout ce qu'on obtient c'est qu'on change la fonction de la répartion de la population (en terme de nouvelles coordonnées) sans en changer la symérie radiale...

cylt21 a écrit:De fait l'espace tel qu'il fonctionne economiquement repose sur des dimensions non euclidiennes.

En quoi a t on rendu compte de quoi que ce soit d'économique ici ?  Je vois seulement des mouvement de population selon ce que tu appelles leur perception.  
Pour parler d'économie, il faudrait au moins rendre compte des flux d'energie entrant et sortant (ou des flux monétaires etc) ainsi que des flux matériels (matière première qui entre et déchets qui sortent ). Et peut-être des flux d'information.

Ici tu dis décrire ensuite des flux de véhicules.  Mais il me semble que le mouvement ne suit rien d'autre que la "quelque chose" qui dépend seulement de la fonction de répartitition des gens.  En quoi est-il logique de dire que le flux des marchandises, par exemple, devrait suivre cela ?

cylt21 a écrit:.....
On montre donc dKi/dt = R - dQi/dx
D'après la gravitation universelle, chaque masse de population emet un flux donc Qi = Ggi avec gi densité de population
donc Qi = GDexp(-ax)

 Pourquoi soudainement parler de gravitation universelle ?????  Il vaudrait mieux éviter les abus de langage comme ça...

De manière plus générale, on devrait dire (force) = (quantité extensive) * (champ).  Que ce soit de la même forme que le poids F= m*g ou de F = q*E (en électricité), ce n'est qu'une analogie formelle, ça n'a rien à voir pour justifier quoi que ce soit dans le contexte ici.

cylt21 a écrit:
Or x la distance à la ville doit être substituée par la distance proxemique soit I
on a donc.........
D'après newton, sum force en i = tdVi/dt
Les mouvements se font de manière radiale vers la ville......
On a donc une dynamique au lieu i qui s'exprime selon le vecteur
( dVi/dt ; dgi/dt ; dI/dt )  

Ouais, ok. sauf que....  Si les gens sont distribués suivant une symétrie radiale autour de la ville. Et que toutes les equations respectent la symétrie radiale, alors ce n'est pas étonnant que le mouvement se fasse en direction radiale.
À moins que je n'ai pas bien compris ce que tu voulais dire.

Mais ensuite et surtout : quel est le phénomène qu'on peut espérer expliquer avec cela ?

Et ensuite il faut justifier les hypothèses simplificatrices.
Tu connais sûrement l'histoire du physicien qui avait voulu modéliser la production laitière des vaches en commençant par
Supposons une vache sphérique... .
À mon avis, ce n'est pas bien grave si le but est de faire un modèle jouet assez grossier.. Mais encore faut-il savoir ce qu'on cherche à étudier comme phénomène car c'est cela qui permet d'évaluer la pertinence des hypothèses simplificatrices. Si on te reproche par exemple de ne pas inclure xyz dans le modèle, il faut que tu puisses le justifier en disant que xyz n'a pas une influence déterminante sur la dynamique que tu veux expliquer.

Ceci dit : je suis désolé je veux pas vraiment être méchant en te cassant, ne le prend pas personnel   .

Je voudrais juste qu'on essaie de tendre vers une méthode scientifique. Il faut avouer que dans les domaines de modélisations en sciences sociales, il y a aussi beaucoup de n'importe quoi qui se publie, et plusieurs "physiciens sérieux"  ont souvent des doûtes quant à la scientificité de la chose.  À l'autre extrème, il y a des spécialistes des "sciences sociales" qui refusent totalement toute approche mathématique.  Alors il faut essayer de défendre la modélisation en cherchant à montrer ce en quoi on répond aux exigences de rigueur de la science.

Autrement, tu as un bon début et il y a sûrement moyen de trouver une situation à laquelle le contexte de tes hypothèses permettrait de répondre.

C'est bien je vois que ca suscite de l'intérêt. toujours pas temps d'intervenir et ce sera comme ca toute la semaine. Donc ce week end...

voila je reviens enfin et j'ai eu quelques heures pour avancer un peu sur l’écriture d'un texte qui sera sans doute moins obscure que ce topic. Il reprend le début seulement avec le principe pour retrouver la loi de distance proxemique urbaine.

http://www.fichier-pdf.fr/2016/05/29/yk38/

vous trouverez toute la demarche dans le texte... J'attends vos remarques car j'aimerais publier le texte. Bien sur il n'est pas fini...

Et oui comment se créer de nouvelles sensations dans la vie et de nouvelles expressions : 

Et tout à coup, ils basculèrent, dans un modèle mathématique psycho-géographique d'urbanisme....

Un jour, un jour, je placerai des phrases comme celle là, des années à tenter de devenir un peu brève et tout à coup, ZB, et tout bascule   rhaaa la poésie mathématicienne... et des personnes s'ennuient seules dans la ville... et ne savent même pas qu'on peut empiler les théories, les dolmaines comme dirait SCPB....

(toujours pour mes archives ici... sinon parfois je perds les fils, les étages, les immeubles, les quartiers...  )