Paradoxe de Russell

Bonjour,
Je travaille un peu la logique mathématique ( mais j'ai arrête les maths en Terminale) , et je voulais savoir si quelqu'un peut faire une synthèse de la paradoxe de Russell dans son contexte… Je pense avoir bien compris la téorie des ensemble,mais j'aurais aimé que quelqu'un me rassure… Quelqu'un qui aime la logique et a les idées très claires…

http://mesparadoxespreferes.monsite-orange.fr/paradoxesconnusetcelebres/index.html#Haut_de_page

Sur ce lien tu disposes d'un tas de paradoxes mis en ligne par un garçon que j'ai connu gamin qui ne manquait pas de piquant et qui a semblé poursuivre dans cette voie...

merci Izo, je vais regarder!!

Izo, ma paradoxe fait partie de la téorie des ensembles, jeje, mais ce que tu proposes est curieux…

La façon d'expliquer dépend de la personne qui explique mais surtout de celle à qui l'on explique. Cela peut aller d'un formalisme qui pourrait être directement interprété par un ordinateur à une vulgarisation très imagée. Alors peut-être vaudrait-il mieux que tu indiques précisément ce qui te pose problème.
Déjà, est-ce que tu as lu l'article de Wikipédia Paradoxe de Russell ? Il y a là des éléments du contexte historique et intellectuel qui permettent d'exprimer les questions qui peuvent se poser pour toi (et des réponses).

Particulièrement quand il s'agit de logique, des problèmes peuvent se poser qui sont propres au langage, que ce soit relativement au formalisme ou au fait même de définir ce formalisme. C'est-à-dire qu'il y a différents niveaux du langage et qu'il est important de distinguer.

Personnellement, je dirais qu'il peut y avoir une difficulté quant au statut du prédicat en logique et au fait qu'on a souhaité faire le lien avec un ensemble d'éléments le satisfaisant comme si ce que les mathématiciens estimaient exister pouvait se traduire directement en un prédicat comprenant le quantificateur existentiel.

Mais ce serait à toi de dire ce qui te pose problème exactement.

Ah merci Pierey je vais le lire… et je te dirai…

izo a écrit:http://mesparadoxespreferes.monsite-orange.fr/paradoxesconnusetcelebres/index.html#Haut_de_page ...

C'est trés interessant ton liens, il y a très peu de ces paradoxes que je connais .. mais pour le paradoxe de Russel, qui pourtant me semble plus connu, je ne le vois pas.  Le mot "Russel" ne figure pas, peut-être ce paradoxe est-il connu aussi sous un autre nom ?

Je ne l'ai pas vu non plus. On peut rapprocher ce paradoxe du paradoxe du menteur ou du barbier rasé, mais ces deux-là ne semblent pas y figurer non plus!

En effet, la paradoxe de Russell est un théorème qui fait partie de  la téorie des ensembles… en mathématiques…

Ce n'est pas tout à fait ça. En mathématique, on construit des objets et on peut ensuite démontrer des propriétés relatives à ces objets. Or, si j'interprète bien la notion de paradoxe (une liste plus complète que celle déjà fournie peut être trouvée ici : Catégorie : Paradoxe), un paradoxe repose d'abord sur une construction, alors qu'un théorème est une proposition démontrée. Le lien, c'est qu'un paradoxe logique donne lieu à deux propositions qui, tout en étant vraies, sont contradictoires. Ce que Russell a démontré au sujet du paradoxe qu'il a énoncé, c'est qu'une certaine construction relative aux ensembles et aux prédicats de la logique conduisait à une contradiction.

Si l'on prend les choses en amont, en mathématique comme en science on se pose d'abord des problèmes qu'on cherche ensuite à résoudre : comment construire ceci, comment garantir cela, comment définir une méthode générale, etc. À ce niveau il y a essentiellement un champ des possibles qui s'ouvre et un défaut de réalisation au sein de ce champ pour parvenir à ses fins. Le paradoxe lui témoigne au contraire d'un excès de réalisation (même si c'est au sein d'une réalisation globale qui n'est pas achevée).

Ainsi, pour tirer la notion de paradoxe du côté de son sens initial, c'est-à-dire ce qui choque le sens commun, considérons le cas de la construction, sur une surface au sol donnée, d'un bâtiment destiné à loger le plus de gens possible. Si l'on dispose de tant de matériaux, on va pouvoir construire tant d'étages. On a trouvé la solution, mais on a négligé un paramètre : la résistance des matériaux. Au-delà d'un certain nombre d'étages, le bâtiment ne sera pas sûr. Le paradoxe consiste ici à dire que ce qui est le plus haut (permettant de loger le plus de gens, donc répondant à la consigne) n'est pas le mieux. On a donc bien le schéma : une construction, deux faits ou deux interprétations de ces faits qui s'opposent, chacune rationnelle mais ne prenant pas en compte les mêmes éléments.

Certes dans ce cas il y a une solution qui n'oblige pas à remettre en question grand-chose. Il faut juste prendre en compte l'ensemble des contraintes principales qui peuvent influer sur le problème : le plus d'étages possible, mais pas davantage que réalisable en toute sécurité. Et dans ce cas on trouve l'optimum.

Avec le paradoxe de Russell, c'est un peu pareil, mais à un niveau d'abstraction tel que ce phénomène était plus difficile à mettre en évidence, parce qu'il remettait en question une construction de la logique qui semblait convenir en toute généralité.

À suivre...

Oui, merci, je vois ce que tu veux dire…
je pense avoir compris la paradoxe, en effet, je crois avoir compris que dans la théorie des ensembles, on n'a pas tenu en compte qu'un ensemble puisse se contenir à lui même, ou pas… Alors, Russell essaye de changer un peu la lecture de cette théorie, je crois… Il change un peu les règles non? mais je vais continuer à lire plus… car, je sais je comprends avec mes mots qui sont ceux du langage , je sais...

Bonjour, j'ai vu ton post et je vais tenter de te faire une synthèse simple du Paradoxe de Russell avec mes mots.
Le Paradoxe de Russell est un paradoxe simple de la Théorie des Ensembles .

Le Paradoxe de Russell peut se formuler ainsi:
"L'Ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux même appartient-il à lui même ?"

Si oui: les membres de l'ensemble n'appartiennent Pas à Eux-Même.
Il y a une Contradiction: l'ensemble ne s'Appartient Pas.
Si non: Il possède alors la Propriété de s'Appartenir ?
Nouvelle Contradiction.

Dans les deux cas existe une Contradiction, ce qui rend un tel Ensemble Paradoxal.

Russell s'interroge sur le fait que toute propriété, que tout prédicat définit un ensemble:
celui des objets, des choses qui vérifient cette propriété .
C'est le Principe de Compréhension, non restreint.


Si on utilise ce Principe de Compréhension: on doit admettre l'existence d'un Ensemble Contradictoire,
et donc....Paradoxal.

Ce qui est Paradoxal est en fait ce qui possède une contradiction ou une antinomie apparente, interne, fondamentale.
Quelque chose qui dans la logique simple ne pourrait pas exister, mais existe pourtant.
C'est une sorte de Porte Ouverte, de Brèche dans la logique pure.

Ce Paradoxe est comme le Paradoxe du Barbier , pour une explication imagée :
Un Barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux là .
....Qui va raser le Barbier ?
...Le Barbier doit-il se raser lui-même ?

Si oui: contradiction: il se rase lui-même.
Si non: contradiction: qui rasera le barbier ?

Russell s'interroge en fait sur ce qui Définit un Ensemble. Il s'interroge sur la définition d'un Ensemble,
et sur le Prédicat qui le définit ou non. Il change un peu les règles oui....
Il démontre surtout que les Règles ont des failles, des contradictions....
que la notion du SENS d'un Chose, d'un Objet, d'un Etre est plus vaste, plus complexe que ce qu'il semble.
Russell repousse les limites de la Logique...et de la Théorie des Ensembles, pour en souligner le mystère....

Merci c'est très bien expliqué! Par contre je pense avoir encore des questions sur la théorie des ensembles...

La théorie des Ensembles est une branche des mathématiques crée par Georg Cantor, un mathématicien allemand,
au XIX ème siècle. Elle est considérée comme une théorie fondamentale.
Cette théorie prend comme primitives les notions d'Ensemble et d'Appartenance,
et à partir de là, elle reconstruit les objets usuels des mathématiques: entiers naturels, relatifs, rationnels..nombres réels, complexes,
fonctions, relations...

Cantor a introduit l'idée qu'il existe plusieurs types d'INFINI, mesurables et comparables avec de nouveaux Nombres:
Ordinaux et Cardinaux.
La théorie des Ensembles de Cantor est considérée comme plus "naïve" car elle ne possède pas une Axiomatique précise,
et qu'elle ne considérait qu'un seul univers ensembliste attendu, alors que de nos jours les mathématiciens
travaillent avec des Univers différents...

Il existe plusieurs Théories des Ensembles....celle de Zermelo-Fraenkel....celle de Von Neumann-Bernays-Gödel
....celle de Morse-Kelley....celle de Kripke-Platek
Ces théories s'interrogent toutes sur les propriétés des Ensembles, et leurs possibles Paradoxes.

Un Axiome de la Théorie des Ensembles est l'Axiome du Choix:
il dit: "Pour tout ensemble X vide ,d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X,
appelée Fonction de Choix, qui a chaque ensemble A appartenant à X associe un Elément de cet ensemble A."

C'est un peu comme un VASE X, avec des Billes, les Billes étant l'ensemble A .
Une fonction définit sur X associe à chaque ensemble A de billes, une Bille appartenant à A .

Dans les Théories des Ensembles , les Univers peuvent être pris comme des Vases, des Vasques,
différents, contenant des ensembles différents, auxquels sont associés des fonctions, des axiomes, des relations mathématiques.

Je précise que je ne suis pas mathématicienne, simplement curieuse de la science, des espaces mathématiques aussi,
les mathématiques sont telle une Exploration des champs du réels et des potentialités de la réalité des espaces connus et inconnus,
j'espère que mon explication t'auras donné envie
de chercher à approfondir les réponses à tes questions....

mmmm.. faisant partie de plusieurs ensembles en tant qu'être vivants je suis également soumis à des choix, avec ces vues logiques l'appartenance ou non à des ensembles et sous ensembles ou meta ensembles prend une nouvelle coloration

le plus intéressant est la communication entre ces ensembles


https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_pr%C3%A9dicats

"Un prédicat peut comporter des paramètres, par exemple le prédicat unaire « être strictement entre a et b » est défini par :

x est strictement entre a et b quand a < x et x < b. "


https://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A9dicat_%28logique_math%C3%A9matique%29

aaa si même les relations sont des ensembles et sous ensembles..

Le Paradoxe de Russell peut se formuler ainsi:
"L'Ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux même appartient-il à lui même ?"
Donc si j'ai bien compris, Etoileduparadoxe et les autres, le problème arrive lorsqu'on veut faire un Ensemble des ensembles non? lorsqu'on veut pouvoir représenter la Totalité en Maths, le Tout…
La question est, comment on fait un Tout des ensembles non? C'est ça???
Et Russell dit que c'est impossible quoi… alors Godel, j'ai lu des trucs sans tout comprendre, mais il fait un théorème sur la incompletude non? c'est la suite de Russell ou pas?
Bon je lis encore un peu plus … et j'attends vous réflexions...

Belena :
je pense avoir compris la paradoxe, en effet, je crois avoir compris que dans la théorie des ensembles, on n'a pas tenu en compte qu'un ensemble puisse se contenir à lui même, ou pas…

Ce qu'on pensait, c'est que la correspondance entre les ensembles (la réalité mathématique en quelque sorte, même si c'était exprimé à l'aide d'une construction assez particulière) et les prédicats (la façon de les définir au moyen d'un formalisme basé sur la relation abstraite entre les éléments) avait trouvé un accomplissement. Tout ensemble était défini par un prédicat, et surtout tout prédicat définissait un ensemble. C'était ce que se proposait Gottlob Frege.

Avant les interrogations de la logique moderne concernant les fondements de la mathématique, on faisait déjà de la logique élémentaire, qui était relative aux structures mathématiques. On formait des propositions grâce à des connecteurs logiques ou des quantificateurs, qu'il s'agissait de démontrer (ou d'invalider par une démonstration du contraire), selon des types de raisonnement, comme la déduction simple ou le raisonnement par l'absurde.

Mais, dans la mesure où les formes de construction et de démonstration pouvaient être d'emploi universel entre toutes les branches mathématiques, ces formes ont pu donner lieu à une nouvelle branche, qui à la fois était particulière et s'appliquait à toutes les autres, y compris à elle-même. C'était la logique moderne, basée sur des axiomes qui permettaient de définir les objets et les règles d'inférence qui permettaient de construire des démonstrations.

Ainsi le prédicat p définit par : p (x) si et seulement si x = x. Dans la mesure où l'on a réduit toutes les structures mathématiques connues à des ensembles, le prédicat p s'applique à tout ce qu'on peut imaginer : nombres, figures, ensembles au sens de collections, ensembles d'ensembles, etc. La forme qu'il définit, c'est-à-dire en notation mathématique {x / x = x}, serait l'ensemble de tout de qu'on a pu imaginer et de tout ce qu'on pourra imaginer. Ce serait l'ensemble de tous les ensembles.

Ce qui pose problème, c'est qu'un ensemble mathématique, ce n'est pas seulement une façon de rassembler sous un nom une collection d'éléments. Il y a entre un ensemble et ses éléments une relation d'appartenance qui est notée au moyen du symbole ∈. Avant la théorie des ensembles, quand on disait que x ∈ E (x appartient à E), c'était en partant d'un ensemble E bien défini (les nombres entiers, les nombres réels, les parties d'un ensemble, les fonctions sur cet ensemble, etc.) et non pas en considérant l'objet ensemble de façon générale et l'appartenance comme une relation entre deux ensembles quelconques, où l'on pouvait raisonner indifféremment sur le fait que x ∈ y ou y ∈ x.

C'est-à-dire qu'envisager pour un ensemble x que x ∈ x, qui peut paraître absurde du point de vue d'une branche mathématique particulière, où le problème ne se pose pas, cela devient simplement une relation correcte dans sa forme en théorie des ensembles, du fait même que la relation d'appartenance est définie entre des ensembles indépendamment de toute considération mathématique concernant le contenu de ces ensembles. On peut poser par définition qu'un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même (puisque c'est évident pour les ensembles finis ou les ensembles infinis qu'on manipule couramment en mathématique). Mais alors cela demande de justifier qu'on ne considère plus les deux côtés de l'appartenance de la même façon, ce qui n'est pas si évident (ainsi la théorie des types de Russell).

Tant que l'on considère la relation d'appartenance sans restriction, on peut écrire que x ∈ x (ou sa négation : x ∉ x). Cela ne veut pas dire qu'on l'envisage au moyen d'une construction qui aurait un intérêt. C'est simplement qu'on ne peut pas évacuer le cas, pour une raison formelle.

En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement. On peut encore le faire quand on traite de calculs simples. Mais déjà, quand on introduit la division, se pose la question du diviseur nul. Alors, ce n'est pas tellement qu'on se demande si x/0 peut avoir un sens pratique, mais plutôt si l'on peut définir la division de façon cohérente pour lui donner un sens formel. Or, on ne peut pas dans ce cas préserver certaines propriétés générales, sauf à changer la nature de la question. Mais là, ce n'est pas un problème. Une opération, cela correspond à une fonction à deux variables. Elle a un domaine de validité, autrement un domaine de définition. Il suffit de poser que les couples (x, 0) ne font pas partie de son domaine de définition (x/0 ne s'écrit pas). Et cela ne perturbe pas la cohérence du système des calculs que l'on peut effectuer à l'aide des opérations mathématiques dont la division.

De même en logique il s'agit de faire confiance à la forme. Mais une relation entre deux objets, ce n'est pas comme une opération impliquant deux termes. La définition d'une relation impose que deux éléments peuvent toujours être comparés. Ainsi, entre deux ensembles quelconques x et y de la théorie des ensembles (sans théorie des types ou autre construction complexe), on aura x ∈ y ou x ∉ y, et notamment x ∈ x ou x ∉ x.

Et alors c'est là que le paradoxe de Russell, qui ne fait qu'appliquer des formes de construction et des formes de raisonnement permises, aboutit à une contradiction. Et, cette fois, on ne peut plus s'arranger comme dans le cas de la division par zéro.

Notamment, on peut toujours raisonner sur un ensemble quelconque parmi tous les ensembles, mais plus considérer que cet objet formel qu'est la notion d'ensemble peut désigner ce tout des ensembles.

C'est-à-dire qu'on est confronté à une limitation concernant l'expression, ou la construction des objets que l'on utilise.

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel ne sont pas du même ordre : il s'agit là d'une limitation concernant la démonstration, notamment touchant à la cohérence d'une théorie.

Notamment, on peut toujours raisonner sur un ensemble quelconque parmi tous les ensembles, mais plus considérer que cet objet formel qu'est la notion d'ensemble peut désigner ce tout des ensembles.

Ah ok bien expliqué aussi… et puis le reste...

Une autre formulation du paradoxe de Russell;

Jour 1:
Un bibliothècaire décide d'écrire un livre, qui va indexer tous les livres existants.
Jour 2:
Il remarque qu'il y a deux types de livres, des livres qui se citent eux-même (A) et ceux qui n'ont pas cette propriété (B).
Jour 3:
Tragiquement le bibliothécaire décide de scinder son livre en deux tomes:

• TOME 1: Tous les livres se citant eux-même.
  

• 
  TOME 2: Tous les livres ne se citant pas eux-même.
  

Jour 4:
Le bibliothècaire se questionne:
Mais à quel groupe appartient le deuxième tome de mon livre ?

Si ce livre est dans A, donc il se cite lui-même, donc il ne se cite pas lui-mème et est donc dans B.
Si ce livre est dans B, donc ne cite pas lui-même , il doit être indexé dans son propre livre et donc appartient à A.


Une solution a ce problème a été d'ajouter un axiome supplémentaire, (axiome de fondation), une manière d'éloigner le loup, qui était dans de la bergerie, créer un pré carré,  des ensembles ayant les bonnes propriétés et continuer à brouter tranquillement.

.( logique naive -> logique ZF(C))

Une autre solution a été de reformuler le cadre, en améliorant la notion d'univers, ce qu'a fait le génial Grothendieck et fort de ces nouveaux outils, mieux comprendre, ce qui se passe avec le paradoxe de Russell:

Un ensemble appartient à un univers, mais que l'ensemble des ensembles appartient à un univers plus grand, qui inclut l'univers des ensembles, or à toute logique, l'on associe un univers, la contradiction est symptomatiquement reliée, au fait que l'on applique la logique de l'univers U1,  celui où vit les ensembles , sur un objet, qui se trouve dans un univers plus grand et dont la logique de U1 n'a aucune raison de prévaloir.

Pas mal… tout à fait…

En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement. On peut encore le faire quand on traite de calculs simples. Mais déjà, quand on introduit la division, se pose la question du diviseur nul.

La vache, j'ai la même impression que lors de mes cours de Terminale, c'est une logique qui m'échappe complétement.
Je comprends l'explication du paradoxe de Russell, c'est même simple dans la théorie des ensembles, vos démonstrations sont imparables.
Mais j'ai eu beau apprendre la théorie des ensembles dés la sixième, je me suis mélangé les pinceaux jusqu'au BAC, je n'ai jamais pu appréhender la logique sous-jacente.

Pour reprendre l'exemple de la division par 0, ça me donnait toujours l'impression qu'on modifiait la règle pour les cas où elle ne marchait pas.

Une opération, cela correspond à une fonction à deux variables. Elle a un domaine de validité, autrement un domaine de définition. Il suffit de poser que les couples (x, 0) ne font pas partie de son domaine de définition (x/0 ne s'écrit pas).

J'ai la même impression qu'en Terminale, c'est parfaitement logique, mais ça me perturbe les neurones. J'étais totalement incapable de gérer les domaines de définition. Finalement, ça correspond à ce que tu décris, faire confiance à la forme.

A vous lire je constate à quel point il s'agit d'un domaine où je ne peux pas trouver de faille dans la logique, mais c'est en même temps une logique que je ne peux absolument pas m'approprier, je peux au mieux la constater.

Ça me rappelle des vieux cauchemars tout ça, les maths pour moi c'est un peu comme connaitre les mots d'une langue étrangère en étant totalement incapable de les utiliser. Ma prof de math a toujours cru que j'étais un gros branleur, parce que je comprenais vite, mais que j'étais incapable de l'utiliser. Alors que c'est sûrement le domaine où j'ai le plus bosser, sans aucun résultat.

En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement.

Voilà exactement de quoi j'étais incapable.
Ben finalement ça me soulage de le comprendre.
C'est aussi intéressant de savoir de quoi on est capable que de s'absoudre des domaines qui vous sont interdits. C'est vexant de ne pas disposer du passeport, mais finalement on se dit qu'on est bien chez soi.
Alors, comme je préfère penser que vous êtes des surhommes en mathématiques plutôt que de penser que je suis un crétin dans ce domaine, recevez, messieurs, l'assurance de mon profond respect.

Mais sachez quand même que vous me foutez les boules grave.

Pieyre a écrit:Ainsi le prédicat p définit par : p (x) si et seulement si x = x. Dans la mesure où l'on a réduit toutes les structures mathématiques connues à des ensembles, le prédicat p s'applique à tout ce qu'on peut imaginer : nombres, figures, ensembles au sens de collections, ensembles d'ensembles, etc. La forme qu'il définit, c'est-à-dire en notation mathématique {x / x = x}, serait l'ensemble de tout de qu'on a pu imaginer et de tout ce qu'on pourra imaginer. Ce serait l'ensemble de tous les ensembles.

En fait, en faisant ça, on omet une condition importante. Le problème n'est pas tant le prédicat que ce sur quoi on l'applique. Le schéma d'axiomes de compréhension s'applique à la fois à un prédicat et à un ensemble, pour donner l'ensemble {x ∈ A | p(x)}. Dans ce cas, le paradoxe de Russell implique simplement qu'on ne peut pas définir d'ensemble de tous les ensembles.

Pieyre a écrit:En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement. On peut encore le faire quand on traite de calculs simples. Mais déjà, quand on introduit la division, se pose la question du diviseur nul. Alors, ce n'est pas tellement qu'on se demande si x/0 peut avoir un sens pratique, mais plutôt si l'on peut définir la division de façon cohérente pour lui donner un sens formel. Or, on ne peut pas dans ce cas préserver certaines propriétés générales, sauf à changer la nature de la question. Mais là, ce n'est pas un problème. Une opération, cela correspond à une fonction à deux variables. Elle a un domaine de validité, autrement un domaine de définition. Il suffit de poser que les couples (x, 0) ne font pas partie de son domaine de définition (x/0 ne s'écrit pas). Et cela ne perturbe pas la cohérence du système des calculs que l'on peut effectuer à l'aide des opérations mathématiques dont la division.

En fait, avant la division, il y a l'inversion. Et dans n'importe quel anneau (ensemble muni d'une «addition» et d'une «multiplication», j'utilise 0 pour désigner l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication), on a la propriété que pour tout x, 0 · x = x · 0 = 0. En particulier, il n'existe pas de x tel que x · 0 = 1. Donc l'inverse de 0 n'existe pas. Ça n'a donc pas de sens de vouloir diviser par 0. Ce n'est pas tant une question de définir «pour donner un sens» que de définir en accord avec les éléments sous-jacents.

Pieyre a écrit:De même en logique il s'agit de faire confiance à la forme. Mais une relation entre deux objets, ce n'est pas comme une opération impliquant deux termes. La définition d'une relation impose que deux éléments peuvent toujours être comparés. Ainsi, entre deux ensembles quelconques x et y de la théorie des ensembles (sans théorie des types ou autre construction complexe), on aura x ∈ y ou x ∉ y, et notamment x ∈ x ou x ∉ x.

C'est faux. Une relation peut ne pas être totale. Par exemple, la relation d'inclusion. Soit A = {1, 2, 3} et B = {4, 5, 6}. Alors on n'a ni A ⊂ B, ni B ⊂ A. Mais là tu parles en fait de quelque chose de plus général. Le fait que "P ou non P" (où P est un prédicat) est en fait un axiome de la logique dite classique (le principe du tiers exclu). Par conséquent, il est possible de s'en abstraire, c'est ce que fait par exemple la logique intuitionniste. Si l'on n'utilise pas l'axiome du tiers exclu, toutes les preuves deviennent constructives, c'est-à-dire que la preuve donne un moyen de construire l'objet dont il est question, ce qui n'est pas toujours le cas en logique classique.

Pieyre a écrit:Et alors c'est là que le paradoxe de Russell, qui ne fait qu'appliquer des formes de construction et des formes de raisonnement permises, aboutit à une contradiction. Et, cette fois, on ne peut plus s'arranger comme dans le cas de la division par zéro.

Comme dit précédemment, on peut. Et c'est ce qui est fait dans le schéma d'axiomes de compréhension moderne.

Pieyre a écrit:C'est-à-dire qu'on est confronté à une limitation concernant l'expression, ou la construction des objets que l'on utilise.

Non. Il s'agit simplement de choisir un ensemble d'outils permettant de faire ce que l'on veut. Rien n'oblige à utiliser l'axiomatique ZFC. Dans la pratique, c'est celle qui correspond à la théorie naïve, mais on peut très bien choisir un autre système. L'important est de ne pas créer d'incohérences. Ce n'est en rien une limitation, puisque les objets que l'on «s'empêche» d'utiliser n'existent pas dans l'axiomatique que l'on a choisi.

Jeje j'ai la même impression que numéro6 "c'est tellement logique que me perturbe les neurones" c 'est Exactament ça!
Et aussi une chose importante est que la théorie des ensemble montre bel et bien que les mathématique sont un lamgage qui joue à relier des éléments entre eux et qui est infini...
Je crois que la théorie des ensemble montre aussi que nous NE pouvons pas avoir l'ensemble des ensemble, le Tout, Mais qu'on peut unir des éléments différente entre eux à travers des propriétés communes non? Ou en opérent avec eux non? C'est l'idée des cardinaux, non?

Il n'y a pas une seule théorie des ensembles. Par exemple, la théorie des types développée par Russell permet de régler le paradoxe différemment de la théorie «classique» ZFC.

Je ne comprends pas ce que tu entends par «on peut unir des éléments différents à travers des propriétés communes». En général, du point de vue fondamental, on définit des ensembles d'objets pour qu'ils vérifient les propriétés que l'on veut. D'ailleurs, il est techniquement possible de construire les mathématiques «classiques» en supposant uniquement ZFC : il existe l'ensemble vide, on peut construire l'ensemble des entiers naturels, et à partir de là les entiers relatifs, etc.

Prince Zete je voulais dire que un objet, un signifiant ( numéro, fonction, etc) ne peut pas exister tout seul, mais en relation entre les autres… L'ensemble vide existe, bien sûr, car il s'oppose à les autres ensembles… Tout seul, il n'existe pas..
C'est ça que je viens de comprendre…
L'importance de la théorie des ensembles est de relier des éléments pour qu'ils existent… Certes je pars dans une méthaphysique, quoique...

Ce n'est pas comme ça que fonctionnent les mathématiques. En mathématiques, on pose des axiomes, et on construit à partir de là. Les seuls objets qui existent sont ceux que l'on construit à partir des axiomes. Alors oui, ils sont nécessairement en relation, mais c'est un effet de bord. La fondation, c'est l'axiome, pas l'objet.

Ah , ok, est un axioma c'est comme une règle non? un énoncé?

Un axiome c'est un prédicat que l'on considère comme vrai. C'est le point de départ de la théorie que l'on construit. Les mathématiques «classiques» correspondent à la théorie ZFC (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_Zermelo-Fraenkel).

Rien n'empêche d'en poser d'autres, tant qu'ils sont cohérents.

Merci mais là j'ai besoin de lire plus, et j'avoue que le niveau est trop pour mon petit niveau...
Mais merci pour nous éclairer...

Numero6 a écrit:

En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement.

A chacun sa compréhension. Personnellement, lorsque je faisais des maths, pour moi raisonner uniquement sur la forme signifiait que je n'avais pas compris. J'ai toujours besoin d'un support de l'intuition, la forme ne me suffit pas (et ne me satisfait pas).

Numero6 a écrit:
Pour reprendre l'exemple de la division par 0, ça me donnait toujours l'impression qu'on modifiait la règle pour les cas où elle ne marchait pas.

Oui et non. En math, on cherche la précision dans l'énoncé des concepts et des règles, la précision absolue, car on a pas droit à l'erreur! Donc on énonce des règles, puis si on s'aperçoit que cela donne lieu à un problème (contradiction, impossibilité, etc) alors on adapte les règles, le but étant d'avoir une théorie cohérente, sans failles. Exclure le zéro dans la division, c'est juste naturel, ce n'est même pas une adaptation, car diviser par zéro n'a pas de sens.

Les paradoxes de la théorie des ensembles (ou le théorème de Gödel) ont donc beaucoup perturbé les mathématiciens.

Numero6 :
Pour reprendre l'exemple de la division par 0, ça me donnait toujours l'impression qu'on modifiait la règle pour les cas où elle ne marchait pas.

Quand la règle ne marche pas, tout dépend de l'empêchement.

Concernant la division, la méthode qu'on apprend à l'école primaire, qui consiste à la poser à la main, ne donne rien avec un diviseur nul. On peut se contenter d'évacuer ce cas en faisant comme si la notion de division pouvait se ramener à la méthode apprise. Il se trouve que c'est encore le cas (en faisant abstraction du signe des opérandes) quand on traite de la division au collège et au lycée. Mais cela aurait pu ne pas l'être. Ainsi, quand on pose une soustraction, le cas où le premier opérande est inférieur au second ne marche pas. Et pourtant il suffirait d'échanger l'ordre des opérandes et de placer un signe moins pour étendre le domaine de définition de la soustraction, comme on le voit au collège.

Mais il y a d'autres cas en effet où l'on est obligé de bricoler pour éviter les problèmes. C'est ce qui se produit en grammaire française. Quand un homme est dans la marine, on dit que c'est un marin. Mais si c'est une femme ? On ne dira certainement pas « une marine », puisque le terme est déjà pris. Dira-t-on : « un marin », « une marin », « une marinette » ? Tant que cela n'est pas fixé, on bricole. Et, quand bien même ce le serait, il s'agirait encore de bricolage. La règle ne s'applique pas, non en raison d'un problème technique interne à la question, mais en raison d'un empêchement contingent.

C'est-à-dire que, dans le premier cas, même si l'on attendrait que les règles soient universelles, il y a tout de même une barrière qu'il nous est difficile de franchir.

En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement.

Voilà exactement de quoi j'étais incapable.

Moi aussi cette exception de la division par zéro m'a gêné. Mais rien ne s'imposait pour procéder autrement. Alors j'ai préféré considérer les choses comme un jeu, avec des règles qu'il fallait bien respecter si l'on voulait jouer. Bon, je ne m'en souviens pas, mais j'imagine que c'est quelque chose comme ça. En fait, je conteste volontiers les règles quand des objections me viennent. Mais, sinon, je les accepte sans peine, en attendant mieux. Et puis il y a un plaisir de matheux à évoluer dans un univers formel, fut-il un peu bizarre. C'est comme dans les films où le cambrioleur s'introduit dans une salle parcourue par des faisceaux de détection de présence. On peut se dire qu'il suffirait d'aller tout droit vers le bijou convoité. Mais le fait qu'il y ait une façon d'éviter les faisceaux, au prix d'une gymnastique particulière, est déjà excitant en soi.

Maintenant, plus on avance en âge et en maîtrise de l'outil mathématique, plus les interrogations reviennent. C'était mon cas aussi. Et là, quand on comprend que les empêchements sont propres à la notion considérée, et le demeurent malgré la généralisation de la notion, cela aide à se conformer aux règles d'évitement.

Bon, j'évoque à peine le cas de la calculette : tu tapes une division par zéro, et la machine te réponds « erreur » (ou « error » si elle a le mauvais goût de s'exprimer en english). Tu a beau savoir qu'elle ne fait que rendre compte d'une clause d'exception qui a été inscrite dans son programme, c'est comme si elle tentait le calcul et que ça ne marchait pas. Mais, surtout, quand c'est toi-même qui programmes un calcul dans un langage informatique, et qu'à l'exécution sur un cas théoriquement interdit en mathématique, la machine boucle ou plante, cela commence à ressembler à une validation concrète de la règle apprise. Cela ne vaut pas grand-chose d'un point de vue théorique. Mais c'est pour dire qu'il y a divers motifs d'adhérer à une telle règle.

D'un point de vue théorique, c'est la notion de limite qui permet de renouveler l'interrogation. Quand on approche le diviseur de zéro dans une fraction, le résultat devient indéfiniment grand. Il n'y a jamais marqué « erreur » en mathématique; c'est juste qu'on s'échappe d'un résultat réel, mais dans une certaine direction, celui des grandes valeurs. Ce qui complique les choses, c'est qu'il qu'il y a deux sens pour cette direction, celui d'une grande valeur positive et celui d'une grande valeur négative. Il n'y a donc ni résultat réel ni même unicité d'un résultat non réel.

Maintenant on peut aussi s'appuyer sur la réalité, ou la conception qu'on en a, pour transgresser la règle. Ainsi, quand on définit la vitesse comme : v = distance parcourue / durée de parcours, on n'avait pas de problème autrefois à considérer que, lorsqu'on allumait une pièce, l'éclairement était immédiat en tout point permis par l'optique; c'est-à-dire que, dans la formule v = d/t, le temps t était nul et la vitesse v infinie. Même si l'on ne considère plus les choses ainsi, c'était cohérent. Mais il ne s'agissait pas du même cadre général que celui de la division entre nombres réels. Les grandeurs de la formule étant positives, on pouvait ajouter un symbole correspondant à une grandeur infinie. L'ensemble des nombres réels positifs auxquels on ajoute un nombre infini a certes un sens, mais ce n'est pas une extension du corps des réels. C'est un ensemble à part, où les calculs sont plus réduits.

Pour faire le lien avec le sujet principal, l'expression x/0, dans le cadre de l'ensemble des nombres réels, est permise par la syntaxe de la théorie des corps mais n'a pas de sémantique intéressante (sauf extensions qui débordent largement le cadre). De même, l'expression x ∈ x est permise par la syntaxe de la théorie des ensembles mais il est douteux qu'elle puisse avoir une sémantique intéressante. Il n'empêche qu'on peut éviter facilement la première difficulté; alors que, pour la seconde, il faut ajouter un axiome ou modifier le cadre.

Zeta, je comprends tes objections, même si elles me semblent souvent tomber à côté. Je suis en gros d'accord, bien sûr, mais il ne s'agit pas ici d'un sujet de matheux niveau troisième cycle. Comme je l'ai indiqué dans ma première intervention, il est question de s'adapter aux connaissances de la personne, notamment celle qui a lancé le sujet, entre formalisme pur et vulgarisation imagée. Il s'agit donc d'utiliser un langage adapté de sorte que ce que l'on exprime soit compréhensible. Ainsi l'on dira en primaire que l'opération 2 - 3 est impossible et au collège que l'équation x² = -1 n'a pas de solution, alors qu'on peut ne pas en rester là. Il n'empêche que c'est justifié dans un certain contexte. Certes il faudrait préciser dans quel ensemble on considère cela. Mais c'est souvent implicite quand on rédige comme je le fais, en tâchant de soigner avant tout l'expression.

Maintenant, je peux ajouter quelques éléments de réponse.

En fait, avant la division, il y a l'inversion. Et dans n'importe quel anneau (ensemble muni d'une «addition» et d'une «multiplication», j'utilise 0 pour désigner l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication), on a la propriété que pour tout x, 0 · x = x · 0 = 0. En particulier, il n'existe pas de x tel que x · 0 = 1. Donc l'inverse de 0 n'existe pas. Ça n'a donc pas de sens de vouloir diviser par 0. Ce n'est pas tant une question de définir «pour donner un sens» que de définir en accord avec les éléments sous-jacents.

Quand on commence un apprentissage, on ne commence pas par la base théorique en progressant vers les développements les plus élaborés, mais on commence par le milieu, là où l'on a des méthodes qui fonctionnent de façon simple. Ensuite on s'engage de façon alternée dans deux directions, celle des fondements et celle des développements.
Ici, c'est la division qu'on apprend d'abord à l'école primaire, parce que cela correspond à une phase élémentaire. Il ne s'agit pas encore de la théorie des anneaux, où l'on peut considérer la division comme la combinaison d'une multiplication et d'une inversion.
Et, dans l'autre sens, celui des développements, on peut considérer dans des structures autres que les anneaux qu'une division par zéro peut avoir un sens.

Une relation peut ne pas être totale. Par exemple, la relation d'inclusion. Soit A = {1, 2, 3} et B = {4, 5, 6}. Alors on n'a ni A ⊂ B, ni B ⊂ A. Mais là tu parles en fait de quelque chose de plus général. Le fait que "P ou non P" (où P est un prédicat) est en fait un axiome de la logique dite classique (le principe du tiers exclu). Par conséquent, il est possible de s'en abstraire, c'est ce que fait par exemple la logique intuitionniste. Si l'on n'utilise pas l'axiome du tiers exclu, toutes les preuves deviennent constructives, c'est-à-dire que la preuve donne un moyen de construire l'objet dont il est question, ce qui n'est pas toujours le cas en logique classique.

Il n'est pas question de cela. Le terme comparer a un sens en français qui déborde le cadre de la relation d'ordre. Je m'étais posé la question de l'emploi de ce verbe, et puis j'ai laissé. Il s'agissait juste de dire que, dans le cadre standard de la théorie des ensembles (indépendamment de l'axiome de fondation, de la théorie des types de Russell ou de la logique intuitionniste), on pouvait toujours considérer que x ∈ x ou x ∉ x, ou ne serait-ce que l'écrire, alors que, dans le cadre du calcul élémentaire, on ne pouvait pas associer x et 0 dans la forme x/0.

Comme dit précédemment, on peut. Et c'est ce qui est fait dans le schéma d'axiomes de compréhension moderne.

Oui, mais j'ai bien dit qu'on ne pouvait pas comme dans le cas de la division par zéro. Chaque mot a son importance.

Il s'agit simplement de choisir un ensemble d'outils permettant de faire ce que l'on veut. Rien n'oblige à utiliser l'axiomatique ZFC. Dans la pratique, c'est celle qui correspond à la théorie naïve, mais on peut très bien choisir un autre système. L'important est de ne pas créer d'incohérences. Ce n'est en rien une limitation, puisque les objets que l'on «s'empêche» d'utiliser n'existent pas dans l'axiomatique que l'on a choisi.

Je ne vois pas en quoi il y aurait une objection : il s'agit bien de modifier une construction théorique même si là il y a de quoi discuter, dans la mesure où c'est moi qui envisage cette distinction entre construction et démonstration.

Pieyre a écrit:

Numero6 a écrit:Pour reprendre l'exemple de la division par 0, ça me donnait toujours l'impression qu'on modifiait la règle pour les cas où elle ne marchait pas.

Quand la règle ne marche pas, tout dépend de l'empêchement.

Ça a déjà été évoqué. En mathématiques, quand une règle "ne marche pas", on change la règle pour que ça reste cohérent. Ce qui se cache derrière la division par 0 est que ce n'est tout simplement pas défini.

Pieyre a écrit:Ainsi, quand on pose une soustraction, le cas où le premier opérande est inférieur au second ne marche pas. Et pourtant il suffirait d'échanger l'ordre des opérandes et de placer un signe moins pour étendre le domaine de définition de la soustraction, comme on le voit au collège.

Sauf que l'équivalent du signe "moins" pour la multiplication, c'est l'inversion, qui n'est pas définie dans le cas de 0. Donc ça ne règle rien.

Pieyre a écrit:Mais il y a d'autres cas en effet où l'on est obligé de bricoler pour éviter les problèmes.

Ce n'est pas un bricolage, c'est une définition.

Pieyre a écrit:

En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement.

Voilà exactement de quoi j'étais incapable.

Moi aussi cette exception de la division par zéro m'a gêné. Mais rien ne s'imposait pour procéder autrement. Alors j'ai préféré considérer les choses comme un jeu, avec des règles qu'il fallait bien respecter si l'on voulait jouer. Bon, je ne m'en souviens pas, mais j'imagine que c'est quelque chose comme ça. En fait, je conteste volontiers les règles quand des objections me viennent. Mais, sinon, je les accepte sans peine, en attendant mieux. Et puis il y a un plaisir de matheux à évoluer dans un univers formel, fut-il un peu bizarre. C'est comme dans les films où le cambrioleur s'introduit dans une salle parcourue par des faisceaux de détection de présence. On peut se dire qu'il suffirait d'aller tout droit vers le bijou convoité. Mais le fait qu'il y ait une façon d'éviter les faisceaux, au prix d'une gymnastique particulière, est déjà excitant en soi.

C'est exactement le principe des mathématiques : on pose des règles, et on s'en sert pour construire des choses. Sauf qu'on a le choix des règles. Le problème est que ce n'est pas ce qui est enseigné sous le nom de "mathématiques" avant le supérieur. Je ne dis pas que c'est nécessairement mal, seulement qu'il s'agit d'un choix. Mais derrière, tous les développements mathématiques se basent sur une liste d'axiomes (souvent ZFC).

Pieyre a écrit:D'un point de vue théorique, c'est la notion de limite qui permet de renouveler l'interrogation. Quand on approche le diviseur de zéro dans une fraction, le résultat devient indéfiniment grand. Il n'y a jamais marqué « erreur » en mathématique; c'est juste qu'on s'échappe d'un résultat réel, mais dans une certaine direction, celui des grandes valeurs. Ce qui complique les choses, c'est qu'il qu'il y a deux sens pour cette direction, celui d'une grande valeur positive et celui d'une grande valeur négative. Il n'y a donc ni résultat réel ni même unicité d'un résultat non réel.

En fait si, il peut y avoir "erreur", lorsqu'une limite n'existe pas. On peut voir par exemple la fonction x -> sin(1/x). Quand x s'approche de 0, la fonction oscille de plus en plus vite, en prenant toutes les valeurs entre -1 et 1. On ne peut donc pas lui donner de limite en 0. On peut tout au plus parler de valeurs d'adhérence (on peut extraire une suite de x pour lesquels la fonction se rapproche de plus en plus de la valeur choisie) : tous les réels entre -1 et 1 sont des valeurs d'adhérence.

Pieyre a écrit:Maintenant on peut aussi s'appuyer sur la réalité, ou la conception qu'on en a, pour transgresser la règle. Ainsi, quand on définit la vitesse comme : v = distance parcourue / durée de parcours, on n'avait pas de problème autrefois à considérer que, lorsqu'on allumait une pièce, l'éclairement était immédiat en tout point permis par l'optique; c'est-à-dire que, dans la formule v = d/t, le temps t était nul et la vitesse v infinie. Même si l'on ne considère plus les choses ainsi, c'était cohérent. Mais il ne s'agissait pas du même cadre général que celui de la division entre nombres réels. Les grandeurs de la formule étant positives, on pouvait ajouter un symbole correspondant à une grandeur infinie. L'ensemble des nombres réels positifs auxquels on ajoute un nombre infini a certes un sens, mais ce n'est pas une extension du corps des réels. C'est un ensemble à part, où les calculs sont plus réduits.

C'est un détournement du concept de limite. On ne peut pas effectuer naïvement les opérations usuelles quand des fonctions n'ont pas de limite réelle. Il faut traiter au cas par cas, quitte à devoir dire que telle fonction n'a pas de limite (ce qui relève plus du cas général que de l'exception, au passage).

Pieyre a écrit:Pour faire le lien avec le sujet principal, l'expression x/0, dans le cadre de l'ensemble des nombres réels, est permise par la syntaxe de la théorie des corps

C'est faux. Comme je l'ai déjà expliqué toute à l'heure. Un corps est un ensemble muni d'une «addition» et d'une «multiplication» telles que tout élément non nul (l'élément nul étant défini comme le neutre de l'addition) est inversible. La division est définie comme "a / b = a b^-1" lorsque b est inversible (i.e. non nul).

Pieyre a écrit:De même, l'expression x ∈ x est permise par la syntaxe de la théorie des ensembles mais il est douteux qu'elle puisse avoir une sémantique intéressante.

Ce n'est en aucun cas le propos en mathématiques. Un exemple que je trouve parlant : prenons deux droites qui se coupent. On peut définir un angle entre ces deux droites (modulo des critères, par exemple la valeur de l'angle comprise entre 0 et pi/2, parmi les deux possibles). Maintenant faisons pareil avec deux courbes (continues de dérivée continue). On peut à nouveau définir l'angle, comme l'angle entre leurs tangentes au point d'intersection. Dans ce cas, on n'a pas besoin de connaître les variations de la courbe loin du point d'intersection, mais seulement au voisinage de celui-ci. Mais si on zoome, on peut à nouveau restreindre l'intervalle "intéressant". Et ainsi de suite... indéfiniment. On peut donc enlever indéfiniment des morceaux de courbes "pas intéressants" jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un point. Et là, on perd la notion de tangente, et d'angle par la même occasion. On ne peut donc pas envoyer quelque chose au rebut juste sous prétexte que ça n'est pas intéressant.

Pieyre a écrit:Zeta, je comprends tes objections, même si elles me semblent souvent tomber à côté. Je suis en gros d'accord, bien sûr, mais il ne s'agit pas ici d'un sujet de matheux niveau troisième cycle. Comme je l'ai indiqué dans ma première intervention, il est question de s'adapter aux connaissances de la personne, notamment celle qui a lancé le sujet, entre formalisme pur et vulgarisation imagée. Il s'agit donc d'utiliser un langage adapté de sorte que ce que l'on exprime soit compréhensible. Ainsi l'on dira en primaire que l'opération 2 - 3 est impossible et au collège que l'équation x² = -1 n'a pas de solution, alors qu'on peut ne pas en rester là. Il n'empêche que c'est justifié dans un certain contexte. Certes il faudrait préciser dans quel ensemble on considère cela. Mais c'est souvent implicite quand on rédige comme je le fais, en tâchant de soigner avant tout l'expression.

Être "entre formalisme et vulgarisation imagée" ne veut pas dire émettre des raisonnements faux sans crier gare. Je suis pour le fait d'expliquer les choses, d'ailleurs j'aurais pu sinon me contenter de renvoyer aux diverses définitions sans rien expliquer, puisqu'un mathématicien aguerri connaît déjà ces choses-là.

Pieyre a écrit:

En fait, avant la division, il y a l'inversion. Et dans n'importe quel anneau (ensemble muni d'une «addition» et d'une «multiplication», j'utilise 0 pour désigner l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication), on a la propriété que pour tout x, 0 · x = x · 0 = 0. En particulier, il n'existe pas de x tel que x · 0 = 1. Donc l'inverse de 0 n'existe pas. Ça n'a donc pas de sens de vouloir diviser par 0. Ce n'est pas tant une question de définir «pour donner un sens» que de définir en accord avec les éléments sous-jacents.

Quand on commence un apprentissage, on ne commence pas par la base théorique en progressant vers les développements les plus élaborés, mais on commence par le milieu, là où l'on a des méthodes qui fonctionnent de façon simple. Ensuite on s'engage de façon alternée dans deux directions, celle des fondements et celle des développements.
Ici, c'est la division qu'on apprend d'abord à l'école primaire, parce que cela correspond à une phase élémentaire. Il ne s'agit pas encore de la théorie des anneaux, où l'on peut considérer la division comme la combinaison d'une multiplication et d'une inversion.

C'est quand même le concept sous-jacent, et c'est de là que vient le problème. Que l'on ne définisse pas ce qu'est la division à l'école, c'est un choix. Mais ça ne veut pas dire que la division que l'on n'apprend à l'école est autre chose que la division définie formellement. Ce n'est qu'une approche simplifiée.

Pieyre a écrit:Et, dans l'autre sens, celui des développements, on peut considérer dans des structures autres que les anneaux qu'une division par zéro peut avoir un sens.

C'est possible, mais dans ce cas, on sort du cadre de la division usuelle.

Pieyre a écrit:Il s'agissait juste de dire que, dans le cadre standard de la théorie des ensembles (indépendamment de l'axiome de fondation, de la théorie des types de Russell ou de la logique intuitionniste), on pouvait toujours considérer que x ∈ x ou x ∉ x, ou ne serait-ce que l'écrire, alors que, dans le cadre du calcul élémentaire, on ne pouvait pas associer x et 0 dans la forme x/0.

Si x est un ensemble, les prédicats x ∈ x et x ∉ x sont valides, quelle que soit leur valeur (vrai ou faux), alors que dans un corps (par exemple celui des réels), "x / 0" est une expression invalide. C'est la définition de ∈, ∉ et / qui est impliquée.

connaissait cfc mais pas zfc

cool on apprends :-)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_Zermelo-Fraenkel

je note

"De ce fait il existe des classes, des collections d’objets mathématiques définies par une propriété partagée par tous ses membres, qui ne sont pas des ensembles."

c'est assez déconcertant dans mon esprit, cela signifie donc je présume que ces objets ont aussi des propriétés non partagées définissant un groupe

cela signifie alors que c'est le groupe qui n'est pas bien défini ou impossible à définir

mais von neumann était quand même super brillant, un grand homme oublié ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-G%C3%B6del

"Les classes comme objets primitifs

Une autre solution est d'ajouter des variables pour les classes, on a maintenant deux types d'objets de base, les ensembles et les classes,
"

un ensemble mobile finalement et des ensembles fixes, une maniere de relativiser les ensembles

mais un ensemble mobile avec variables et conditions cela me gêne aussi

ou alors on a l'immuabilité relative dans une fourchette de conditions à la manière d'un attracteur étrange

je me demande si les théories du chaos ne seraient pas d'une grande aide dans la définition d'ensemble structurés spatialement à l'échelle près et self similaires .. du coup la variabilité elle même serait relative et fixe d'une certaine manière à l"échelle près

c'est tout à fait possible pour les théories des grands nombres qui finalement n'est qu'un changement d'échelle et qui par facteur grossissant met en lumière les lacunes des énoncés "locaux"

ce qui est en bas est comme ce qui est en haut et en math aussi mais pas toujours dans les moindres détails

et von neumann "oublié"

https://fr.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann


"Plus tard, avec Pitts et Warren McCulloch, il introduit une notion d’aléatoire dans les réseaux de façon à les rendre capables de fonctionner en présence d’erreurs et de bruits affectant les calculateurs élémentaires et leurs connexions. Son côté taquin se ressent sur les blagues qu'il fait répétitivement à Einstein, comme changer son billet de train pour la direction opposée."

si ça c'est pas du chaos lol

le bruit informatique peut servir de codage.. ou de décryptage mais aussi à la logique floue,

0 1 et pas tout à fait 0 ou 1.. le "peut être" très utile en IA

ferait il beau à Buda-Pest demain ? oui avec une probabilité de 70%

peut être oui

imaginez des chaines probabilistes.. ces chaines constituent elles des ensembles cohérents ? mmm

Zeta, j'ai l'impression que tu juges tout selon une grille qui n'admet qu'un point de vue, sans jamais faire la part des choses, notamment celle qui correspond au sens de ce sujet, où il s'agit de s'adapter. Cela fait que nombre de tes objections me paraissent assez spécieuses. Soit c'est complètement à côté, soit ce n'est pas contradictoire avec ce que je dis. Alors à quoi bon ?

J'essaierai de répondre à quelques points plus tard, si j'en ai la patience. Mais il y avait surtout un point qui m'intéressait dans ces objections, qui concernait la distinction entre construction et démonstration quant aux limites du formalisme mathématique. C'est plutôt là-dessus que je t'attendais.

je me demande si je pourrais formaliser une théorie des ensembles relativistes mouvants ?

en résume erm

;-)

pour tout ensemble de données généralement quelconques, D il est possible de définir un sous ensemble S acceptant la propriété P fixant que les relations les liant sont invariantes dans le temps quelque soit les variables ou fonctions appliquées à l'ensemble des membres du groupe

il existe donc une structure absolue dans tout ensemble en apparence relativiste et cette structure n'est absolue que parce que sa relativité s'inscrit dans une fourchette donnée

l'écart entre le min et le max de cette fourchette est appelée vibration relativiste absolue ou vra

posons que la vra de tout ensemble complexe cohérent possède une variance maximale ne dépassant pas un aléa probabiliste d'une fonction normale ou chi2 appliquée à la ensemble de ses membres

mmm

euh erm quoi

zebulonlezebre a écrit:"De ce fait il existe des classes, des collections d’objets mathématiques définies par une propriété partagée par tous ses membres, qui ne sont pas des ensembles."

c'est assez déconcertant dans mon esprit, cela signifie donc je présume que ces objets ont aussi des propriétés non partagées définissant un groupe

cela signifie alors que c'est le groupe qui n'est pas bien défini ou impossible à définir

Le fait que des objets aient des propriétés différentes n'est pas un problème, même dans un ensemble. Le concept de classe est censé englober celui d'ensemble : une classe qui est élément d'une autre est un ensemble.

zebulonlezebre a écrit:mais von neumann était quand même super brillant, un grand homme oublié ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-G%C3%B6del

Von Neumann a apporté beaucoup aux mathématiques, il est loin d'être oublié. On notera que si on la restreint aux ensembles, sa théorie est équivalente à ZFC. Je ne suis pas spécialiste de théorie des ensembles (loin s'en faut), mais j'imagine que NBG est bien connue dans le milieu.

zebulonlezebre a écrit:"Les classes comme objets primitifs

Une autre solution est d'ajouter des variables pour les classes, on a maintenant deux types d'objets de base, les ensembles et les classes,
"

un ensemble mobile finalement et des ensembles fixes, une maniere de relativiser les ensembles

Je ne vois pas trop le rapport. Aurais-tu mal compris le sens de "variable" ici ? Ça fait simplement référence au fait qu'on se permet de nommer les classes, comme on le fait pour les sensembles, sous forme de variables (correspondant donc à un objet, ensemble ou classe, non déterminé). Il n'est pas question de fixité ou de mouvement. Il me semble quelque peu dangereux de s'aventurer sur un chemin aussi tortueux que celui de vouloir donner des propriétés de mouvement à des objets mathématiques.

---

Pieyre a écrit:Zeta, j'ai l'impression que tu juges tout selon une grille qui n'admet qu'un point de vue, sans jamais faire la part des choses, notamment celle qui correspond au sens de ce sujet, où il s'agit de s'adapter.

Qu'entends-tu par "m'adapter" ? Je prends le point de vue des mathématiques fondamentales, oui, mais je pars du principe que sauf indication contraire, on est dans le cadre de celle-ci (même dans le cas où on se limite au "milieu" entre la théorie la plus fondamentale et les applications).

Pieyre a écrit:Cela fait que nombre de tes objections me paraissent assez spécieuses. Soit c'est complètement à côté, soit ce n'est pas contradictoire avec ce que je dis. Alors à quoi bon ?

À ce que je sache, être d'accord avec quelqu'un n'est pas un mal. Et je ne vois pas en quoi je voudrais induire qui que ce soit en erreur. Au contraire, je m'efforce de remettre le cadre formel autour de ce qui est dit. Ce cadre permet de justifier tout ce que l'on appréhende dans le secondaire, et c'est vers lui qu'il faut se tourner lorsque l'on s'attaque à des éléments plus profonds comme le paradoxe de Russell. Les mathématiques du secondaire sont comme une boîte noire, qui ne laisse apparaître que quelques commandes. Si on veut aller plus loin, on est obligé d'ouvrir la boîte pour comprendre comment elle fonctionne.

Pieyre a écrit:J'essaierai de répondre à quelques points plus tard, si j'en ai la patience. Mais il y avait surtout un point qui m'intéressait dans ces objections, qui concernait la distinction entre construction et démonstration quant aux limites du formalisme mathématique. C'est plutôt là-dessus que je t'attendais.

Qu'entends-tu par là ? Encore une fois, le formalisme mathématique n'a comme limites que celles qu'on lui impose. Si l'on laisse de côté la phase de découverte (qui est loin d'être finie, soyons clairs), le propre des mathématiques est de construire des propriétés à l'aide de briques de base (les axiomes). On peut ainsi définir proprement les notions que l'on apprend de manière quelque peu naïve (au sens positif du terme) et intuitive à l'école. La démonstration est alors le procédé par lequel on effectue cette construction. Les définitions sont là pour donner des noms aux constructions intéressantes (pour faire une analogie, une maison reste un ensemble de briques que l'on a scellées ensemble, mais il est raisonnable de donner un nom à cet ensemble remarquable).

zebulonlezebre a écrit:je me demande si je pourrais formaliser une théorie des ensembles relativistes mouvants ?

en résume erm

;-)

pour tout ensemble de données généralement quelconques, D il est possible de définir un sous ensemble S acceptant la propriété P fixant que les relations les liant sont invariantes dans le temps quelque soit les variables ou fonctions appliquées à l'ensemble des membres du groupe

il existe donc une structure absolue dans tout ensemble en apparence relativiste et cette structure n'est absolue que parce que sa relativité s'inscrit dans une fourchette donnée

l'écart entre le min et le max de cette fourchette est appelée vibration relativiste absolue ou vra

posons que la vra de tout ensemble complexe cohérent possède une variance maximale ne dépassant pas un aléa probabiliste d'une fonction normale ou chi2 appliquée à la ensemble de ses membres

mmm

euh erm quoi

mm aussi...
Sinon ce dont tu parles ressemble beaucoup à la notion d'ensemble flou, un ensemble enrichi, auquel on associe la logique floue.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_floue

Prince Zeta a écrit:....

Pieyre a écrit:Zeta, j'ai l'impression que tu juges tout selon une grille qui n'admet qu'un point de vue, sans jamais faire la part des choses, notamment celle qui correspond au sens de ce sujet, où il s'agit de s'adapter.

Qu'entends-tu par "m'adapter" ? Je prends le point de vue des mathématiques fondamentales, oui, mais je pars du principe que sauf indication contraire, on est dans le cadre de celle-ci (même dans le cas où on se limite au "milieu" entre la théorie la plus fondamentale et les applications).

Pieyre a écrit:Cela fait que nombre de tes objections me paraissent assez spécieuses. Soit c'est complètement à côté, soit ce n'est pas contradictoire avec ce que je dis. Alors à quoi bon ?

À ce que je sache, être d'accord avec quelqu'un n'est pas un mal. Et je ne vois pas en quoi je voudrais induire qui que ce soit en erreur. Au contraire, je m'efforce de remettre le cadre formel autour de ce qui est dit. Ce cadre permet de justifier tout ce que l'on appréhende dans le secondaire, et c'est vers lui qu'il faut se tourner lorsque l'on s'attaque à des éléments plus profonds comme le paradoxe de Russell. Les mathématiques du secondaire sont comme une boîte noire, qui ne laisse apparaître que quelques commandes. Si on veut aller plus loin, on est obligé d'ouvrir la boîte pour comprendre comment elle fonctionne.  

(  Pour te narguer je dirais que tu prendrais volontier Bourbaki pour enseigner les nombres naturels au primaire ? ...  (ceci est une blague) )


Ça me fait penser à une anecdote que Arnold (Vladimir, celui de la th de KAM ) raconte concernant une visite dans une école française:  

il demande à un étudiant combien font  6 + 9  (par exemple je ne me souviens pas des chiffres ) , et le jeune élève embêté par cette question inhabituelle, de finalement répondre:  9 + 6 par la commutativité de l'addition !

-------
Bref je trouve ce débat interessant aussi.  C,est finalement la question de comment présenter et expliquer des mathématiques à ceux qui n'en n'ont jamais fait et qui sont bloqués dans un souvenir désagréable de l'école primaire et secondaire...  Ces gens sont un peu frustrés de ne pas comprendre pourquoi les maths sont comme elles sont... Ils cherchent un sens plus profond que ce qu'il y a d'un point de vue formaliste...    

Des questions comme ces paradoxes, ça me semble une bonne manière d'attirer de l'intérêt et faire réfléchir à la notion d'objet mathématique.  
Donc oui il faudrait expliquer que les maths sont comme un jeu de construction, et qu'on peut se contruire n'importe quelle structure qui soit consistante.  
Il bien faire entendre que le nom qu'on donne n'est qu'une étiquette pour la définition , et qu'il ne faut pas confondre ce nom avec un objet homonyme de la vie courante.   Bref quand on parle de th des ensembles, on pense souvent intuitivement en terme de théorie NAIVE des ensembles, c'est correct pour l'essentiel de la pratique, mais pas pour raisonner formellement.  
Mais si on met tout l'accent sur le sens formel des êtres mathématiques, c'est trop sec...le sens intuitif de ces êtres à besoin du support géométrique ou visuel ..

C'est le pied ce fil, grâce à vous je comprends pourquoi je ne comprenais pas.
Ma manière de réfléchir est incompatible avec la logique mathématique.

Je ne comprends pas ce que tu entends par «on peut unir des éléments différents à travers des propriétés communes». En général, du point de vue fondamental, on définit des ensembles d'objets pour qu'ils vérifient les propriétés que l'on veut.

Là déjà, ça me donne des boutons, définir des trucs qui n'existent pas de manière à retomber sur ses pieds, c'est limite condamnable au supplice du pal. On devrait interdire une telle perversion mentale, la sanctionner d'une peine symbolique, la déportation aux galères par exemple.

Donc on énonce des règles, puis si on s'aperçoit que cela donne lieu à un problème (contradiction, impossibilité, etc) alors on adapte les règles, le but étant d'avoir une théorie cohérente, sans failles.

Yes, joli, vous êtes des grands pervers, vous fignolez une théorie sans faille à la virgule près, avec une précision de sacristain. La pureté pour la théorie, et le bidouillage sans fin pour maintenir la pureté.
C'est limite obscène.

Et puis il y a un plaisir de matheux à évoluer dans un univers formel, fut-il un peu bizarre. C'est comme dans les films où le cambrioleur s'introduit dans une salle parcourue par des faisceaux de détection de présence. On peut se dire qu'il suffirait d'aller tout droit vers le bijou convoité. Mais le fait qu'il y ait une façon d'éviter les faisceaux, au prix d'une gymnastique particulière, est déjà excitant en soi.

C'est bien ce que je dis, vous êtes des grands pervers, surtout toi zeh.
Le pire pour moi c'est d'entendre des mathématiciens se féliciter de la BEAUTÉ d'une démonstration.
Et juste derrière, d'un air grave et solennel, de rappeler la règle fondamentale : plus c'est simple, plus c'est beau.
On en a enfermé pour moins que ça.

Il n'y a jamais marqué « erreur » en mathématique; c'est juste qu'on s'échappe d'un résultat réel, mais dans une certaine direction, celui des grandes valeurs. Ce qui complique les choses, c'est qu'il qu'il y a deux sens pour cette direction, celui d'une grande valeur positive et celui d'une grande valeur négative.

Ah oui, ça aussi c'est le cauchemar, tout ce qui tend vers un infini.
J'ai besoin de visualiser, sinon je ne fonctionne pas.
L'infini dans les grandes valeurs j'arrivais à me représenter « beaucoup » dans ma tête, mais pas plus.
Mais alors l'infini qui tend vers 0, je peux me graver les neurones au burin ça échappe à toute tentative de visualisation. Pour moi c'était un machin qui ressemblait à un truc.

Quand on commence un apprentissage, on ne commence pas par la base théorique en progressant vers les développements les plus élaborés, mais on commence par le milieu, là où l'on a des méthodes qui fonctionnent de façon simple. Ensuite on s'engage de façon alternée dans deux directions, celle des fondements et celle des développements.

La différence entre ta manière d'expliquer les choses et celle de Prince Zeta, c'est qu'on sent l'expérience de la pédagogie, alors que lui cherche plus la précision de sa pensée.
Et ça me rappelle exactement pourquoi ça me posait problème.
L'enseignant s'adresse à une classe et doit développer un discours qui puisse convenir au niveau moyen de la classe. Je ne parle de capacités plus ou moins élevées, mais d'un discours qui, en moyenne, a le plus de chance d'être capté par la plus grande partie des élèves.

En quelque sorte, j'avais toujours l'impression que le prof traduisait les math en des termes qui donnent accès à la compréhension, puis utilisait une progression dans la complexité, on part d'éléments accessibles puis développe de plus en plus.
Et ça c'est l'horreur pour ma pomme.
C'est absolument ignoble d'imposer la connaissance des propriétés d'un carré avant de passer au rectangle. Se faire chier avec une exception avant de constater qu'elle n'est qu'une exception.
Je critique pas, je raconte ma vie.

Il fallait que je devine au travers de la tentative de vulgarisation où le prof tentait de nous amener, la réalité cachée derrière ses mots pour neuneus consanguins.
Ça m'aurait été dix fois plus facile de partir de la fin, de la théorie complète toute nue, puis de comprendre comment on y parvenait.

Sans compter que pas une seule fois dans tout mon cursus je n'ai eu la chance qu'un prof prenne la peine d'expliquer à quoi tout ce bordel pouvait bien servir.

J'ai fait chier mon prof (un ancien légionnaire, c'est pour vous situer le niveau) avec l'intérêt des différentiels. Il a expliqué que dans le cas des roues d'un train, la roue à l'intérieur du virage tourne moins vite que celle à l'extérieur. Non, mais va-z-y, appelle-moi con aussi, je m'en serais pas douté. Point. Period. Démerde-toi avec ça.

J'en ai fait chier une autre avec le pourquoi de l'intérêt des intégrales. Cette agrégée nous a expliqué que ça servait à calculer ce qui se trouvait sous la courbe. Génial, great, absolutly fabulous, applause. Donc les mathématiques ça sert à calculer un problème fabriqué de toutes pièces par les mathématiques.
Non mais c'est sûr, il ne se passe pas un jour sans que j'ai besoin de calculer l'aire sous une courbe, tiens, ne serait-ce pour ouvrir une boite de Raviolis.

J'en avais conclu que mes profs connaissaient les mathématiques, les règles, les théorèmes, mais qu'aucun n'était foutu d'expliquer à quoi tout ce merdier pouvait bien servir.

C'est exactement le principe des mathématiques : on pose des règles, et on s'en sert pour construire des choses. Sauf qu'on a le choix des règles. Le problème est que ce n'est pas ce qui est enseigné sous le nom de "mathématiques" avant le supérieur.

C'est vraiment un truc de voyous !
Quel ne fut pas ma satisfaction en arrivant à l'université d'avoir des profs qui me donnaient cette impression merveilleuse de savoir de quoi ils parlaient. C'était toujours aussi chiant, je n'y comprenais toujours rien, mais c'était un réel plaisir de deviner que la logique mathématique se déroulait avec aisance dans leurs têtes.

Mais que ça fait un bien fou, c'est un réel soulagement, encore merci.

Je n'y comprends toujours rien, mais c'est un vrai plaisir de comprendre pourquoi.
J'ai lu Le théorème du perroquet, une sorte de vulgarisation historique et romancée des maths, de la découverte fabuleuse du zéro jusqu'à la nécessité de trouver un machin qui donnait un résultat négatif au carré.
J'ai lu le bouquin de Cedric Vilani, et j'en ai achevé la lecture en me disant que les mathématiciens étaient les plus grands escrocs de la planète. Donnez-moi le résultat dont vous avez besoin pour échapper au fisc, et je vous bricole le bilan comptable avec des algorithmes de sa mère la pute. Voyous.


Ouais, en fait, je n'ai jamais digéré mon 8/20 en math au BAC, une année où l'académie de Versailles avait remonté toutes les notes en raison d'un taux d'échec trop élevé.
Neuf heures de math par semaine pour aller gratter un 5 ou 6/20 au BAC, mais c'était horrible. Des centaines d'heures de cours et d'études par point obtenu. Surement l'investissement le plus nul de toute ma vie (si l'on excepte les gonzesses bien entendu).

Et si j'en vois un seul qui rigole, je rappellerais que le BAC scientifique à l'époque n'était obtenu que par 16 % d'une classe d'âge, et que si mes statistiques ne suffisent pas à calmer votre hilarité on se retrouve demain à l'aube avec vos témoins, je vous laisse le choix des armes.

Différentes formes d'esprit. Et ben là au moins je comprends ce que ça signifie dans toute sa splendeur.

Ah quel pied !

Numero6 a écrit:C'est le pied ce fil, grâce à vous je comprends pourquoi je ne comprenais pas.
Ma manière de réfléchir est incompatible avec la logique mathématique.

Si tu me trouves une logique non-mathématique, je te parie qu'on peut la formaliser mathématiquement...  

Plus sérieusement, je citerais von Neumann : "If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is"...  

En fait, si tu n'aimes pas la beauté de l'abstraction pure, c'est une question de goût. Tu peux apprécier la puissances des applications.

Numero6 a écrit:

Je ne comprends pas ce que tu entends par «on peut unir des éléments différents à travers des propriétés communes». En général, du point de vue fondamental, on définit des ensembles d'objets pour qu'ils vérifient les propriétés que l'on veut.

Là déjà, ça me donne des boutons, définir des trucs qui n'existent pas de manière à retomber sur ses pieds, c'est limite condamnable au supplice du pal. On devrait interdire une telle perversion mentale, la sanctionner d'une peine symbolique, la déportation aux galères par exemple.

Exister mathématiquement renvoie seulement à la consistance logique, d'un point de vue formel.. Ça n'a rien à voir avec l'existence physique ...

Si tu définis une notion, si elle ne se contredit pas elle-même, c'est bon, tu peux l'utiliser et voir si c'est utile pour résoudre de vrais problèmes concrets en physique, en ingénierie, en informatique.   Les notions mathématiques que l'histoire a sélectionnées sont celles qui se sont révélées fécondes et profondes.

Numero6 a écrit:C'est bien ce que je dis, vous êtes des grands pervers, surtout toi zeh.
Le pire pour moi c'est d'entendre des mathématiciens se féliciter de la BEAUTÉ d'une démonstration.
Et juste derrière, d'un air grave et solennel, de rappeler la règle fondamentale : plus c'est simple, plus c'est beau.
On en a enfermé pour moins que ça.

Je pense que je vois ce que tu ne comprends pas. Tu as l'impression que les mathématiques ne sont pas simples ???
C'est probablement vrai si tu n'a jamais fais de mathématiques.   Après un diplome d'ingénieur, quand je me suis inscris en mathématique (Master), on m'a fait remarqué que je n'avais jamais fait de mathématiques...  Et que j'avais du rattrapage à faire par moi-même... Et c'était vrai...  

Le raisonnement mathématique est ce qui permet d'éviter de faire des calculs

Plus le raisonnement est court et permet d'aller loin en terme de résultat nouveau, plus c'est beau.   Si on peut esquisser les grandes idées et les faire comprendre à n'importe qui sans entrer dans les technicalités et dans la rigueur, alors c'est encore plus beau.

Une belle idée dans une démonstration est souvent une manière inédite de voir les choses en utilisant un résultat emprunté à un domaine différent mais qui simplifie tout.   Il y a un sentiment de "Wow ! ,  je ne l'avais pas vu venir.  

Souvent il y a des problèmes faciles à résoudre par des calculs habituels qu'on applique comme une recette.... ça ce n'est pas beau, c'est laid, c'est le contraire de ce que je cherche à faire les mathématiciens... Ils préfèrent laisser ce genre de chose aux ordinateurs .  

Numero6 a écrit:
J'ai besoin de visualiser, sinon je ne fonctionne pas.
L'infini dans les grandes valeurs j'arrivais à me représenter « beaucoup » dans ma tête, mais pas plus.
Mais alors l'infini qui tend vers 0, je peux me graver les neurones au burin ça échappe à toute tentative de visualisation. Pour moi c'était un machin qui ressemblait à un truc.

Moi aussi j'ai besoin de visualiser, et de même tous les gens qui aiment la géométrie, et en particulier les physiciens...

L'infini ne tendra jamais vers 0, personne n'a dit cela...  
Par contre 1 sur l'infini fait 0 (en réalité il y a plusieurs concepts d'infinis ).   L'inverse de ce qui et grand est petit... l'inverse de ce qui tent vers l'infiniment grand, est ce qui tend vers l'infiniment petit.
Qu'est-ce que tu n'arrives pas à visualiser là-dedans ?

Numero6 a écrit:.... C'est absolument ignoble d'imposer la connaissance des propriétés d'un carré avant de passer au rectangle. Se faire chier avec une exception avant de constater qu'elle n'est qu'une exception.
Je critique pas, je raconte ma vie.

Hahaha .. remarque très interessante !  
Manipuler des objets généraux est bien moins simples que de manipuler des objets plus riches en propriétés.  c'est vrai que dans un sens, le carré est un cas particulier du rectangle, mais c'est justement la symétrie additionnelle qui permet de l'utiliser pour davantage de résultats. La simplicité, ici, ce n'est pas seulement une question d'esthétique, c'est aussi une question pratique d'application.

Moins un objet n'a de propriétés, moins on peut jouer / travailler / avec lui. Plus il y a de propriétés, plus on peut travailler avec lui.

Numero6 a écrit:....
Sans compter que pas une seule fois dans tout mon cursus je n'ai eu la chance qu'un prof prenne la peine d'expliquer à quoi tout ce bordel pouvait bien servir.

J'ai fait chier mon prof (un ancien légionnaire, c'est pour vous situer le niveau) avec l'intérêt des différentiels. Il a expliqué que dans le cas des roues d'un train, la roue à l'intérieur du virage tourne moins vite que celle à l'extérieur.

c'est pas les mêmes différentielles...     Rien à voir, sinon l'étymologie. Bref il se foutait de ta gueule, ...

Numero6 a écrit:....J'en ai fait chier une autre avec le pourquoi de l'intérêt des intégrales. Cette agrégée nous a expliqué que ça servait à calculer ce qui se trouvait sous la courbe. Génial, great, absolutly fabulous, applause.
...
J'en avais conclu que mes profs connaissaient les mathématiques, les règles, les théorèmes, mais qu'aucun n'était foutu d'expliquer à quoi tout ce merdier pouvait bien servir.

   Par exemple lorsqu'on veut contrôler la navigation d'un véhicule, la position renvoyée par les capteurs de position peut être bruitée. Pour corriger et lisser le signal de la position, on ajuste ce signal avec la position obtenue en intégrant (numériquement ) la vitesse au cours du trajet. Ce second calcul donne un autre estimé de la position car la position est l'aire sous la courbe du signal de vitesse. (Je n'explique pas la méthode, mais je réfère au filtre de Kalman pour la navigation inertielle )
 

En fait, tout ce qui est électrique, électronique, mécanique, optique et même biomédical, a besoin de mathématiques pour être manipulé, compris et contrôler.
Toutes les lois de la physique s'écrivent en équations différentielles ou intégrales..  etc...  Les phénomènes biologiques se modélisent aujourd'hui par les mathématiques dans le but de construire de nouvelles technologies médicales.  etc

La connerie est que les profs de maths ne semblent pas avoir vocation à parler des applications.  Ils ont leur cours, et ils suivent un programme étroit qui ne parvient ni à communiquer l'intérêt esthétique, ni l'intérêt appliqué... Pour ça faut demander aux ingénieurs ou aux physiciens ... Qui par ailleurs ne sont pas trop concernés en général par le paradoxe de Russel (et autres amusements philosophiques )

Autrement: se demander à quoi sert dans la vie d'un individu ordinaire et normal la compréhension de la nature ou des technologies, c'est comme se demander à quoi sert l'histoire, la géographie ou la littérature.  C'est de la culture et ça sert à se situer dans le monde...

La plupart des gens ne savent pas ce qui se passe lorsqu'ils appuient sur un bouton qui active un appareil donné ...... ou ne savent pas pourquoi la terre tourne autour du soleil..    C'est une inculture qui semble carrément acceptable dans certains cercles..  mais je trouve que ça ne tourne pas rond.[/quote]

Jaja vous êtes carrément sorti du sujet ... Mais vos réflexions sont intéressantes ... De l'intêret des mathématiques?
Les maths peuvent tout expliquer? Non pas tout...
Les démonstrations et les fonctions sont utiles pour la vie quotidienne?
Ça depend pour qui !
Bah il vaut mieux être sincère et dire que les maths sont une façon de comprendre l'univers , une façon parmi d'autres... Mais qu'on n'aura jamais une réponse à tout ni une compréhension exhaustive de cet univers ...

@Badak, merci pour ta réponse détaillée, c'est encore plus clair maintenant.

Quand je dis que mon esprit est réfractaire aux mathématiques, je ne dénigre pas les mathématiques, en aucun cas, je suis même bluffé par ceux qui s'y sentent à l'aise.

Les judokas développent leurs performances dans le but de rester debout lors d'un combat. Ils ont tous des performances médiocres au saut en extension, bien qu'il s'agisse d'athlètes de haut niveau. Ils sont plantés dans le sol, pour les faire tomber il faut s'appeler Teddy Riner.
Donc, un judoka de haut niveau qui saute haut, ça n'existe pas.

Pour revenir au paradoxe de Russell, quand il est formulé dans la théorie des ensembles je comprends la démonstration, mais elle me complique la vie, elle ne m'aide pas à réfléchir, elle m'encombre l'esprit.

Moi, ma forme d'esprit c'est de creuser, je m'amuse à me décrire comme une pelleteuse. Mon talent c'est de nettoyer tout ce qui gêne, de repérer les idéologies qui influencent une réflexion, les émotions qui la propulsent, je creuse, je creuse, je nettoie, j'élague, pour comprendre pourquoi les gens disent ce qu'ils disent.

Je viens de tomber par hasard sur une citation de Russell. Il s'agit d'un blog comme tant d'autres qui me permet d'approfondir ce qui m'intéresse le plus au monde : comment réussir à tromper un cerveau, ou des cerveaux, ou une population entière.

On y trouve cette citation :

“Comment se fait-il que nous ayons tant d’informations et que nous sachions si peu de choses ?”  [Noam Chomsky]

Ainsi qu'une autre de Bertrand Russell “ Ne soyez jamais certains de rien.” Ce qui dans ma tête à moi veut dire la même chose que la formulation de son paradoxe dans la théorie des ensembles. Par contre, sous cette forme, je peux l'intégrer dans mon système de pensée.
Si je cherche à y intégrer sa formulation mathématique, c'est le bug garanti, car l'aspect mathématique prend trop de place, c'est lui qui devient prioritaire.

Donc moi je creuse, et les mathématiciens s'élèvent. Si je tente de m'élever, je n'y ai aucun talent, et je ne peux plus creuser.

Par exemple, si je reprends ta notion de réprésentation du monde par les mathématiques, je creuse, et je la rapproche d'une certaine religion monothéiste qui a particulièrement développé ce concept . Ce qui pour toi n'a peut-être pas beaucoup d'importance, je ne sais pas, pas de procès d'intention, mais c'est capital pour moi.
Si tu veux, je cherche à me libérer le plus possible de ce que tu dis, pour espérer cerner ce qui s'exprime à travers toi, ta représentation du monde, la symbolique qui sert de trame à ton esprit.
Et c'est avec ce filtre que je passe l'information que tu me fournis.
Mon truc à moi c'est de lire ce que tu ne sais pas avoir écrit.

Je développe ce sujet comme à mon habitude parce que je n'arrive pas encore à me l'approprier. Pour performer dans une certaine forme d'esprit, cela implique d'être moins bon dans une autre.

C'était une grande énigme pour moi de constater que les cerveaux des ingénieurs, dont j'envie les prouesses, ne s'accompagnaient pas de la même pertinence dans le domaine des relations humaines.
Je me demandais toujours ce qu'il y avait à comprendre, tellement ça me paraissait simple.

Quand je voyais des débats enflammés entre une femme et un ingénieur, je ne pigeais pas pourquoi il ne pigeait pas.
La nana arrive, espérant obtenir l'attention, elle fait l'effort de produire une analyse dans un langage particulier, capable d'atteindre un cerveau d'ingénieur. Elle veut des bisous, elle espère un compliment, elle va roucouler de contentement si on lui dit qu'on apprécie ce qu'elle écrit, qu'elle a su déclencher une réflexion dans vos magnifiques cerveaux, elle vous signale en faisant cet effort qu'elle s'intéresse à vous, elle se fout éperdument de savoir si son raisonnement est parfait.

Elle ne veut pas. Elle vous dénie le droit de rejeter son raisonnement s'il n'est pas parfait. Elle vous dénie le droit de la rejeter si elle n'est pas parfaite. Car elle sait qu'elle n'est pas parfaite. Accepter les défauts de son raisonnement c'est l'accepter elle, imparfaite.

L'ingénieur arrive et lui démonte point par point tous les défauts de son analyse. Il a produit un effort remarquable, dont lui seul est capable, il a brillé, il s'attend à un retour favorable, au minimum le respect de sa réflexion, une récompense de son mérite.

Ce qui fait qu'il finit par s'énerver. Parce qu'en face la fille ne l'a pas du tout perçu comme ça. C'est comme si elle avait agité ses cheveux en tous sens pour vous balancer ses phéromones et que persistiez à lui démontrer par un travail d'analyse implacable qu'elle a un gros cul.
Évidemment qu'elle va réfuter toutes vos démonstrations, rationnelles ou logiques. Évidemment que vous allez vous énerver et ouvrir un fil pour tenter de comprendre pourquoi certains se refusent à la logique.

Ben, en pratique, pour moi, c'est très logique. C'est juste que ce n'est pas une logique d'ingénieur.

C'est en lisant ce fil, en comparant l'incroyable pertinence dont vous êtes capables dans le domaine des mathématiques avec ce que vous écrivez sur d'autres sujets, que j'ai eu le mega-flash, il est impossible d'être bon partout.

Je comprends mieux pourquoi de brillants mathématiciens ou de remarquables ingénieurs peuvent avoir autant de problèmes pour sauter. Comme les judokas.

@belena, il est trop bien ton fil.

Numéro6 , tu as raison ... On ne peut pas  être bon partout ... Mais c'est une question de temps ... Malheureusement ... Il faut choisir ... On est limité dans le temps... Quelle frustration!! Bien sûr lorsqu'on est ingénieur ou ingénieure , on peut faire par la suite des études de math...dans mon cas après avoir eu mon Bac S je me suis consacrée aux lettres… Peut-être pour ma retraite je ferai des maths...

Mais j'ai du boulot!!!

@Belena, ça se sentait dans ta manière d'aborder le paradoxe de Russell, plus littéraire et philosophique que mathématique au sens strict, domaines dans lesquels tu as sans doute plus de facilités.

J'ai l'impression que le paradoxe est pour toi le point de départ d'une possible réflexion, alors que pour un mathématicien c'est un but ou un outil. L'opposition est rudimentaire, je te l'accorde, et ça n'empêche pas de prendre plaisir à se replonger dans les maths plus tard...

Oui en effet, dans ce monent je lis sur le psychoanalyse : FReud et puis Lacan , qui s interprète FReud en utilisant la  logique mathématique ... Voilà ... Il parlait de la théorie des ensembles de Cantor et Russell , un peu Godel ...  Pour expliquer la structure de l'inconscient...

.

Si on peut appliquer les maths pour comprendre l'univers , il va de soi qu'on puisse l'appliquer dans d'autres domaines de la pensée...Lacan, là , il a été un precurseur, avec levi strauss , en utilisant les maths pour expliquer la théorie psychoanalytique de FReud ...