Visualiser l'intersection de trois cylindres

Pouvez-vous visualiser l'intersection de 3 cylindres identiques dans un repère orthonormé (axes x, y, z) ?

1 cylindre par axe.

Combien de faces possède le solide résultant ?

Les cylindres sont-ils de même diamètre ?

Dans un temps très ancien j'ai construit avec les outils de la géométrie descriptive de Monge (un truc qui n'existe plus et qui n'est pas le dessin technique traditionnel) les intersections cône-cylindre, sphère-cône etc. dans les principales positions relatives (fenêtres de Viviani).

C'était l'enfer car je ne suis pas du tout soigneux et que mes épures étaient des torchons !
Pour tout améliorer on passait les traits en couleur à l'encre au tire-ligne (avec les nécessaires taches et débordements ...).
Image un môme vraiment malhabile (et pas super motivé ni de très bonne volonté ...) tenter de réaliser ça qui sont les constructions de base :

   

Les cylindres sont identiques, donc on peut supposer qu'ils sont de même diamètre.

Les cylindres sont identiques (même longueur, même diamètre). Tu peux imaginer des tuyaux de plomberie si ça t'aide.

@Confiteor : impressionné par ces copies d'écran qui me rappellent quelques cours d'EMT (Education Manuelle et Technique). Personnellement, il m'est plus difficile de réaliser de tels dessins que de visualiser mentalement le solide à l'intersection des trois cylindres.

Est-ce que les cylindres sont ouverts ? fermés ? pleins ? creux ? S'ils sont creux, est-ce qu'on compte les faces intérieures ? S'étendent-ils à l'infini ?

@Cécile : un peu plus :-)

@Molloy : il s'agit de compter les faces externes du solide formé par l'intersection.

Je vous suggère de commencer par résoudre cette question :
https://www.zebrascrossing.net/t34956-visualiser-l-intersection-de-deux-cylindres

C'est un peu chaud avec trois cylindres, autant deux ça va (j'ai fait de la stéréotomie et c'est une voute en arc de cloitre, enfin avec son symétrique par rapport à la "ligne de naissance"), mais là j'ai du mal...

Spoiler:

Pour ma part, à partir de l'intersection des deux cylindres orthogonaux, qui a 4 faces, j'ai aussi appliqué mentalement un cylindre de coupe vertical, qui devait intersecter ce volume du côté de ses arêtes pour créer 4 nouvelles faces. Et j'en ai conclu que cela faisait 8 faces. Sauf que je n'avais pas bien visualisé que les 4 faces initiales seraient séparées en deux par cette opération... Pourtant, c'est ce qu'on pouvait deviner en se rendant compte que, par symétrie, le nombre de faces devait être un multiple de 3.

Cela me conduit à m'interroger sur les notions de face, d'arête et de sommet. Une face, cela me paraît assez clair : une sous-surface maximale de la surface d'un volume sur laquelle on peut tracer des lignes régulières (au sens de dérivables) entre deux quelconques de ses points (ce n'est peut-être pas ça; je ne vérifie pas). Mais il y a une ambiguïté quant aux deux autres notions. En effet, l'intersection de deux cylindres orthogonaux a-t-elle 2 ou 4 arêtes ? Si l'on privilégie la notion de dérivabilité, il y a 2 ellipses qui se croisent sans pointe aux pôles. Mais on peut aussi considérer qu'il y a 4 demi-ellipses qui se rejoignent sans se croiser. J'opterais plutôt pour la seconde conception : une arête serait une ligne régulière maximale de crête entre 2 faces qui ne croise pas une autre telle arête. Quant aux sommets, il est clair que l'intersection de deux cylindres orthogonaux a 2 pôles de symétrie naturels (contrairement aux pôles de la sphère terrestre, qui ne sont pas géométriques mais physiques : ils se réfèrent à un mouvement, la rotation de la Terre autour de son axe et du système de coordonnées que l'on construit à partir de cela). Mais un sommet n'est pas forcément un pôle de symétrie. Je dirais que c'est un point d'intersection d'au moins 3 arêtes. Dans le cas de l'intersection de 3 cylindres orthogonaux, on remarque qu'il y aurait deux types de sommets : ceux où se réunissent 4 arêtes, avec une forme en voûte sur croisée d'ogives; et ceux où se réunissent 3 arêtes en formant une pointe.

Par ailleurs je me pose la question : dans quels cas l'intersection de 2 cylindres orthogonaux doit donner un nombre de faces multiple de 2 ? et l'intersection de 3 cylindres un nombre multiple de 3 ? Cela fonctionne pour des cylindres droits à section carrée (dont les faces correspondent aux directions des coordonnées) comme pour des cylindres droits à section circulaire, mais pas pour une combinaison des deux formes, et par non plus pour une intersection de cylindres droits à section constituée d'un triangle équilatéral.

@Pieyre, je ne comprend pas trop ton questionnement sur les cylindres droit à section carré ? Tu parle de parallélépipèdes rectangles ?

Oui, c'est ça : par défaut, ce qu'on appelle un cylindre correspond à la notion de cylindre de révolution (c'est-à-dire un cylindre à section circulaire). Mais la définition générale inclut des surfaces quelconques que l'on prolonge dans l'espace selon des génératrices parallèles : ainsi un parallélépipède rectangle comme un prisme sont des cylindres en ce sens.

Si tu croises deux parallélépipèdes rectangles de section carrée identique tu obtiens un volume à six (un cube) ou huit face ("cylindre" avec une base hexagonale) donc multiple de 2
Si tu les croises avec un troisième tu peux avoir dix cotés ("cylindre" avec une base octogonale) donc non multiple de 3 ou douze cotés (j'ai peut être pas tout vu...)
(En partant de principe que les axes de symétrie de chaque parallélépipède formes un repère orthogonal)

(j’édite, tu peux avoir un cube aussi)

En effet. C'est pour cela que j'ai édité mon message et que j'ai précisé dans le cas du parallélépipède rectangle : « dont les faces correspondent aux directions des coordonnées ». Sinon, il est difficile de prévoir combien de faces on va obtenir, comme ton exemple en témoigne.

Alors je dirais : si l'on effectue l'intersection à angle droit de cylindres droits dont la section est symétrique selon les deux axes de coordonnées du invariante par rotation d'un angle droit dans le plan où elle s'inscrit, alors avec deux cylindres on obtient un nombre de faces multiple de 2 et avec trois cylindres un nombre multiple de 3. C'est une conjecture qui est vérifiée si l'on considre qu'il n'y a que deux types de cylindres de ce type : les cylindres de révolution et les parallélépipèdes rectangles dont les faces sont parallèles à deux directions de l'espace euclidien à base orthogonale. Mais, ce qui m'intéresserait, c'est de le démontrer de façon générale sans distinguer entre section circulaire et section carrée, voire même au-delà de la dimension trois.

Par ailleurs, c'est une règle qui s'appliquerait encore pour les arêtes mais pas pour les sommets, où il faudrait en trouver une autre...

Si c'est valable au dessus de trois (faces, avec une base triangulaire équilatérale ça ne marche pas) on peut peut être penser que ce rapport est fonction du nombre de face en plus du nombre de dimensions en intégrant des permutations circulaire des cylindres en fonction du nombre de leurs faces ? ....

Je ne sais pas si je suis clair ni si je m'exprime bien, les math ça date pour moi ...

J'édite beaucoup ce que j'écris, parce que je découvre à chaque fois des cas qui ne vont pas, notamment en fonction de ce que tu indiques (merci pour cela !)

Bon, alors, voici ce qu'on peut établir :

— en dimension deux : un cylindre, c'est une bande, qu'on parte de n'importe quelle figure (connexe, tout de même) que l'on prolonge par des génératrices; donc l'intersection de deux cylindres droits orthogonaux semblables, c'est un carré, c'est-à-dire une surface qui a 4 arêtes et 4 sommets;

— en dimensions trois, selon les principes de symétrie que j'ai supposés afin de déterminer une règle générale, on aurait selon le nombre d'intersections de cylindres orthogonaux de même nature (parallélépipèdes rectangles ou cylindres de révolution) :
    — 2 cylindres : un cube (6 faces, 12 arêtes et 8 sommets) ou un bicylindre (4 faces, 4 arêtes et 2 sommets);
    — 3 cylindres : un cube (6 faces, 12 arêtes et 8 sommets) ou un tricylindre (12 faces, 24 arêtes et 14 sommets);

— en dimension quatre, selon les mêmes principes (avec peut-être des formes supplémentaires : j'ai du mal à me le représenter) :
    — 2, 3 ou 4 hyper-cylindres : ? difficile de dire, sinon pour l'hypercube qui, d'après la formule de Sommerville, possède 8 faces tridimensionnelles cubiques, 24 faces planes carrées, 32 arêtes et 16 sommets.

Je dirais 12 faces

Sachant que je visualise assez bien l'intersection de 2 cylindres, il m'est possible de faire coulisser un troisième cylindre qui arrive par le haut. A l'intersection

Spoiler:

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faces:

je devrais venir lire cette section plus souvent. Les visualisations spaciales me paraissent assez simple.

Nicolas_72 a écrit:Sachant que je visualise assez bien l'intersection de 2 cylindres, il m'est possible de faire coulisser un troisième cylindre qui arrive par le haut.

C'est amusant, je procède de la même manière (faire coulisser un troisième cylindre qui arrive par le haut)