Énigme des 12 billes

Encore une énigme classique et excellente !

Vous disposez d'une balance de Roberval et de 12 billes d'apparence toutes identiques.
1 bille parmi les 12 a une masse différente.
On ne sait pas si elle est plus lourde ou plus légère que les autres.

A l'aide de seulement 3 pesées, comment pouvez-vous identifier avec certitude la bille différente et préciser si elle est plus légère ou plus lourde que les autres ?

Quelqu'un a une idée ?
Moi j'y arrive mais .... en 4 pesées >_< (oui donc j'y arrive pas en fait )

On sépare les billes en 3 groupes de 4.
On met 2 groupes de chaque côté de la balance.
Là, plusieurs cas :

1) La balance penche d'un côté
  On retient si elle penche à gauche ou à droite et on remplace le groupe de gauche par celui encore non pesé
 
1.a) Si la balance est à l'équilibre
   Le groupe contenant la bille différente est celui qu'on a remplacé.
   Si la balance penchait à gauche, la bille différente est plus lourde, sinon plus légère.

1.b) La balance penche toujours
   Le groupe contenant la bille différente est celui du côté droit.    
   Si la balance penche à droite, la bille différente est plus lourde, sinon plus légère.

2) La balance est à l'équilibre
 C'est le dernier groupe qui contient la bille différente. On remplace le groupe de gauche par celui encore non pesé.
  Si la balance penche à gauche, la bille différente est plus lourde, sinon plus légère.

On sait maintenant dans quel groupe de 4 se trouve la bille et si elle est plus légère ou plus lourde.

On prend 2 billes du groupe de 4. On les met chacune de part et d'autre de la balance
Si la balance penche d'un côté, on sait où est la bille différente.

Si la balance est à l'équilibre, on met les deux dernières de part et d'autre de la balance pour trouver la bonne.


Voilà où j'en suis !
Y a peut-être une optimisation à faire sur la fin, mais j'en ai pas trouvé :/

Bonjour Elliot, j'étais arrivé à la même conclusion que toi jeudi matin, mais j'avais laissé le problème de côté pour faire mon travail et je m'en suis plus occupé ensuite avant ce matin en lisant ton message. J'avais sans doute travaillé en arrière-plan parce que la solution en cas d'équilibre m'est apparue spontanément. Il me reste à dégager une solution qui soit satisfaisante pour les déséquilibres et d'essayer de mettre ça au clair.

Voilà. En effet, le problème c'était bien réglé de lui-même en fond et la réponse pour le cas du déséquilibre est venue assez vite également.  Ça a été bien plus long a rédiger et mettre en forme qu'à trouver en fait. ^^

Je suis pas toujours doué pour expliquer, alors je vais essayer d'illustrer ça au mieux, ça sera plus clair...

On recherche deux choses par rapport à la mauvaise bille :
Son identité (laquelle parmi les 12),
et son état (plus légère ou plus lourde).
Ce sont ces deux éléments qu'on doit identifier en trois pesées.

1ère pesée:

J'ai résolu ce problème il y a 19 ans mais je me rappelle y avoir mis 25 minutes en mode papier/crayon et non de tête.

Concernant la méthode proposée par Hécate :

Spoiler:

@Ἑκάτη
Bravo pour ta résolution !

Mais, déjà en écrivant là où j'en étais, je me disais que ça me paraissait compliqué.
Si on pose ce problème à l'oral, je me disais que la solution devait être explicable sans trop de possibilités.

Mais tu es arrivé plus loin que moi, bravo !

L'explication la plus simple qu'on puisse donner est celle-ci, finalement :

Spoiler:

@Ἑκάτη : pour la seconde pesée...

Spoiler:

Pas besoin d'écrire plus, je t'ai demandé parce que je voulais pas faire la démonstration moi-même non plus, la conclusion que tu donnes me suffit et me donne son cheminement.

je l'ai en 0 pesée.

je prends une planche inclinée (la longueur dependra du niveau de précision attendu par rapport a la différence de masse entre la bille modifiée et les autres billes identiques) et je fais une course de billes.



la premiere ou la derniere arrivée en bas de la planche, sera la bille modifiée.