Mathématiques chez le zèbre

Les droites partent de part et d'autre de l'intersection à l'infini. Est-ce à dire que l'espace est rempli ?

Eh bien, oui. La preuve en est simple. Soit un point quelconque de R³. Il existe bien une droite qui passe par ce point et par l'origine. Donc, ton espace, c'est tout R³.

Il y a néanmoins une question qui se pose. Tant qu'on ne précise pas les axiomes qui définissent une structure, il existe plusieurs interprétations de ce dont on parle. On pourrait dire aussi qu'en dehors du langage mathématique, on reste dans un certain flou artistique.

Je prends un exemple. L'espace C des nombres complexes, ce n'est pas que l'ensemble de ses points. Il a aussi une structure, qui en fait la spécificité.
Plus précisément, identifié à R², il s'agit d'un espace vectoriel (on peut faire la somme de ses éléments ou les multiplier par une valeur scalaire, mais pas les multiplier entre eux). Mais, en le munissant d'une structure de corps (cette fois on peut multiplier ses éléments entre eux, à l'aide d'une multiplication originale), il s'agit bien du même ensemble (son substrat ensembliste en quelque sorte) mais pas du même espace.

Alors je reviens à ton espace. Si son ensemble d'éléments est bien R³, il est possible de le munir d'une structure qui tient compte de la façon dont tu le décris avec les mots du langage ordinaire, de sorte qu'il ne s'agisse pas de l'espace vectoriel R³.

Par exemple on peut envisager la relation d'équivalence suivante : deux points seront dits équivalents s'ils appartiennent à la même droite passant par l'origine.
Bon, pour que tous les points ne soient pas équivalents, on est obligé de retirer l'origine de cet espace, mais c'est tout.
Alors, plutôt que l'espace pris comme sous-ensemble de R³, on pourra le considérer comme ensemble quotient de R³ selon cette relation d'équivalence, c'est-à-dire comme l'ensemble des classes d'équivalence.
Resterait ensuite à étudier sa structure et déterminer si cela peut servir à quelque chose. Mais c'est au moins amusant, comme tout ce qui est abstrait, non ?


PS — Je vois que l'heure est propice à la réflexion. Les grands esprits se rencontrent.

Et toi Pieyre (as-tu vu ma référence subtile plus haut?), pas de figure improbable à proposer?

Oui, j'ai vu, mais qu'est-ce qu'on pourrait appeler une figure géométrique improbable selon toi ?

À part des figures un peu complexes de la géométrie ordinaire, on est amené à considérer ou bien des structures algébriques (c'est le cas de C qui prolonge R² en quelque sorte) ou bien des structures topologiques (comme la bouteille de Klein, mais là, il y en a énormément).

(Tiens, ça me fait penser que tu m'avais posé une question sur la géométrie un jour et que je n'y avais jamais répondu. Aïe !)


Ce que je peux faire, c'est de continuer avec la structure précédente, celle de la structure quotient, que j'appelle D.

D'une façon un peu plus concrète (mais dans la réalité mathématique, c'est-à-dire tout de même dans l'abstrait), on peut dire plus simplement qu'il s'agit de l'ensemble des directions de l'espace R³, chaque direction pouvant être représentée par un point quelconque de la droite correspondante, hormis l'origine.

Qu'est-ce qu'on peut en faire de plus ? Déjà, on peut considérer deux directions et se demander si le couple ainsi obtenu est signifiant. Eh bien, oui : on a une structure d'angle plan dans l'espace. On peut alors considérer D² comme un espace vectoriel. En effet on peut ajouter deux tels angles, ce qui nous donne encore un tel angle (il y a des propriétés à vérifier, mais elles me semblent évidentes).
Maintenant, si l'on ramène tout cela à la sphère terrestre, on obtient juste l'espace des vecteurs courbes. Enfin, il faudrait peut-être considérer plutôt au départ des demi-droites, mais en gros c'est ça.

Oui mais depuis j'ai changé d'avis. Tiens, j'étudie un peu la bouteille de Klein "en ce moment", il est possible que je te pose des questions un de ces jours. Auxquelles tu répondrais!

Je ne sais pas ce qu'est une figure improbable, en fait improbable me fait aussi penser à des singularités ou plutôt étrangetés topologiques ou en lien avec le calcul différentiel. C'est probablement une erreur. On a tendance à penser à des figures bornées alors que si ça se trouve il y a des trucs intéressants en simples termes d'ensembles et de points qui ne se trouvent pas dans ce cadre. Paroles en l'air, ce que je dis n'a peut-être aucune pertinence.
En tous cas, ce que DesperateRobot proposait était plutôt d'inventer des choses, comme avec l'oursin un peu trop gros pour sa boîte.

Je trouve ça fascinant de se dire que dans un espace supposé connu comme R^3, on puisse trouver des ensembles au propriétés trop exotiques pour avoir frôlé notre intuition. Peut-être que c'est pas le cas remarque.

Du côté des structures avec étrangetés topologiques, tu as les lacets avec des nœuds, les volumes avec des trous, voire une combinaison des deux. En gros s'il ont des pointes, la paramétrisation correspondante n'est pas différentiable, sinon elle l'est. Et puis il y a des tas d'autres trucs plus ou moins bizarres.

Ce qu'il y a, c'est qu'il faudrait savoir de quoi tu pars. Est-ce que tu cherches juste à trouver une figure originale, en explorant dans tous les sens, ou bien est-ce que tu as une idée qui serait conditionnée par une application concrète (ou par une réflexion concernant une figure déjà existante) ?

En fait, j'ai l'impression que ce que tu cherches, c'est une structure singulière (comme l'est la bouteille de Klein), ou bien un type de structure simple dont on pourrait combiner les instances pour obtenir des structures complexes (comme le type trou dans R² ou dans R³, ou le type nœud dans R³).
Mais, comme c'est déjà bien exploré j'imagine, tu vas peut-être devoir chercher au moins dans R⁴, ou alors dans un espace qui n'est pas homomorphe à un Rⁿ.

Je cherchais surtout pour me prêter au jeu, je suis pas en manque ^^

Je fais un TIPE sur le tore , donc ces trucs sont jamais très loin, mais j'ai assez d'objets pour l'instant.

Spoiler:

Tiens moi j'ai mon avatar qui est plus ou moins dur à modéliser...

Bah, pour reprendre le fil, il faudrait déjà que tu puisses le décrire de façon assez complète en langage naturel.

paela:

Facile: ça me fait penser aux images que provoque ma synesthésie; il suffit de trouver la chanson, et de mettre sur pause.

Spoiler:

Comme dit Pieyre, il y a plein de trucs magiques en topologie, en géométrie.

Essayez de "voir" en plus de 3 dimensions, en se figurant les "ombres" de ces objets sur notre monde tridimensionnel, par exemple. Généraliser des polygones n'est pas si simple apriori...et ça pratique l'imaginaire !

Ce qui "fait chier" en math c'est la façon de l'enseigner, les mutliplications, le par coeur.
Hors, les mathématiques, si elles n'expriment pas nécessairement pas la réalité (pas la réalité physique ou "normale" en tout cas), exprime quand même la cohérence universelle du monde. L'esprit humain qui perçoit les structures dans la manières qu'est organisé le monde physique, le rend abstrait, le généralise. L'intérêt est de réussir à résoudre des problèmes en formalisant un problème en le transposer en "langage mathématiques" pour ensuite utiliser le raisonnement "pur" en jouant avec des règles "logiques" définies.
On peut utiliser toutes sortes de trucs abstraits.

C'est comme cela, qu'on fait de la physique ou de la biologie mathématique, sans que les biologistes n'y comprennent quoi que ce soit

Une fois qu'on voit le côté ludique, le côté libre, l'aspect pratique, reste qu'à l'apprivoiser. De toute façon personne n'est spécialiste de tout à la fois.

ah, je fais remonter pour lire plus tard, je cherche encore le moyen pour moi de mieux aborder les maths, petit problème avec l'abstrait qui m'a fait ne jamais les apprendre enfant, puis j'ai finit par me rendre compte que c'était simple lors d'une tentative de reprise d'études, mais toujours pas trouvé le moyen de m'y intéresser en profondeur spontanément hors scolarité, tendance à l'esquive perpetuelle, pourtant ça me plait

tiens une petit au passage : En combien de régions 5 plans deux à deux non parallèles séparent-ils l'espace ?

perso c'est surtout que je me sens bete devant le langage mathematique, genre sur celle là j'ai du commencer par comprendre ce qu'ils voulaient dire par 2 à 2, c'est moche

Pour les 5 plans, ça dépend de comment ils sont organisés. Je prend l'exemple en deux dimensions : tu prends un pentagone et tu prolonge les 5 côtés pour former 5 droites. Ton plan sera séparé en 11 régions. Maintenant, tu réduit la taille de ton pentagone pour n'avoir plus qu'un point : tu viens de faire disparaître une région et tu n'en as plus que 10. L'exemple est bien sûr facilement transposable en dimension 3.

Mais ne t'inquiète pas, on est tous passé par la case où l'on ne comprend pas le langage utilisé. Et puis même en passant sa vie à faire des math, il y aura toujours des domaines où on se sentira bête.

Flo, pour aborder un cours de mathématique, il y a selon moi deux difficultés de nature différente : se représenter rationnellement les constructions et comprendre en détail les démonstrations.
Un étudiant en mathématique doit maîtriser les deux aspects; quelqu'un qui veut se rendre compte de l'utilité et de la puissance de cette discipline peut se contenter du premier, ce qui n'est déjà pas simple. À un certain niveau de complexité, les deux sont d'ailleurs je pense inter-dépendants.

L'intérêt du commentaire de Priarus, me semble-t-il, c'est qu'il construit un modèle de ce qui n'est pas la question, parce que plus simple, mais qu'on peut se représenter.
De plus, cela permettrait deux choses : 1. suivre sans trop de difficulté une démonstration réduite qui pourrait être faite dans le plan; 2. se représenter par extrapolation la construction dans l'espace avec des plans au lieu des droites.

euh non Priarus, j'ai appris l'astuce de s'aider des murs pour visualiser, en tout ça fait 26 régions mais j'en suis toujours à compter betement les régions, il doit y avoir des lois pour les déduire plus simplement -_-

edit : ah pardon j'ai pas vu que tu parlais de deux dimensions, ben pour visualiser des structures simples ça va mais je manque d'astuces quand ça se complexifie, par exemple la question des 5 plans, j'imagine que la réponse de quelqu'un connaissant les mathématiques est quasi immédiate, alors que je suis obligé de prendre 5 minutes pour construire empiriquement l'image mentale, sans pouvoir relier cette construction à des formules ou règles ou tables ou lois qui la faciliteraient

merci pour vos réponses c'est en effet ça Pieyre, j’apprends (enfin je m'y essaie quand l'occasion se présente plutot) à mentaliser/visualiser et trouver des façons de contourner le côté abstrait, mais il me manque totalement la compréhension des démonstrations, et ça commence à me gêner de plus en plus du fait que les domaines encore neufs et attractifs pour moi demandent pour la plupart à connaitre les mathématiques en profondeur pour être appréciés de façon correcte, et ne plus se contenter d'apprécier la synthèse/vulgarisation des démonstrations

D'ailleurs si vous avez à conseiller des livres ou methodes pédagogiques agréables (droles ou mettant en parallèle des applications pratiques ou scientifiques qui puissent permettre de faire perdurer l’intérêt) pour adulte, ne serais-ce qu'abordant les domaines les plus couramment rencontrés, ou jusqu'à tel niveau, genre BAC, mon niveau scolaire s'est arrêté vers la 5e pour ce qui est de la compréhension du langage

ps : pour les bouquins je suis réellement intéressé