Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Comme l'a fait remarquer Levans, on peut associer à toute grille trianceysque un graphe. Il est non planaire (puisqu'il se déploie sur un tore) mais localement planaire. Plus précisément, dans la mesure où sa nature non planaire correspond à un bord de la surface (par exemple les côtés du carré de la représentation plane), on doit pouvoir se restreindre pour nombre de propriétés à étudier le graphe planaire obtenu par coupure selon ce bord. En effet, de même que le bord d'une surface continue est de mesure nulle, la frontière d'une surface discrète contribue, pour certaines propriétés, d'une façon qui tend vers 0 quand la discrétisation devient plus précise.

On sait déjà que le nombre de triangles est le même sur les représentations planaire et torique.
Le nombre de sommets est plus important sur la représentation planaire, mais on sait lesquels il faut identifier pour obtenir le nombre correspondant dans la représentation torique. Et, plus le nombre de sommets intérieurs augmente, plus on peut considérer l'un comme une approximation de l'autre.
Pour le nombre d'arêtes, le cas est assez semblable. Pour un nombre important de triangles, il doit donc être de même ordre sur les deux représentations.

Reste le nombre de grilles planaires, qui doit être en rapport avec ce qu'il serait sur le tore, mais de façon peut-être un peu plus complexe. En effet il s'agit cette fois de juger de la configuration globale de la grille. Le nombre de grilles apparentes (sur le carré correspondant au jeu) est donc là aussi supérieur au nombre grilles réelles, mais, du fait des symétries possibles, on pourrait avoir à diviser le premier nombre par un certain facteur.

Concernant plus généralement le nombre de graphes connexes à n sommets, quelques recherches sommaires me conduisent à penser que ce nombre doit être une exponentielle de n. Mais il ne semble pas y avoir d'estimation précise. Ainsi, on notant p(n) le nombre de graphes planaires connexes à n sommets, je trouve que 1/n × log2 (p(n)) tend vers une certaine constante c (entre 3 et 6 – la valeur n'est pas fixée). Ce qui donnerait p(n) équivalent à 2^(cn) lorsque n tend vers l'infini. Par ailleurs, pour les premiers graphes de cette sorte (en commençant à zéro sommet), on obtiendrait le nombre exact de graphes : 1, 1, 1, 2, 6, 20, 99, 646, 5974, 71885...

Maintenant, cela concerne un nombre de graphes plus divers que ceux correspondant aux grilles de Petitagore, comme il l'a lui-même remarqué. C'est-à-dire qu'on obtient toujours une majoration et non une minoration. Dans la mesure où les restrictions imposées aux grilles convenables sont importantes (la distance bornée entre sommets, et surtout le fait que tout triangle doit en en toucher exactement trois autres), il pourrait y avoir une estimation plus précise, peut-être même faisant intervenir des structures mathématiques moins complexes que le cas général. À lire un peu sur le sujet, je ne crois pas qu'on pourra facilement s'en sortir. Mais rien n'est certain. Il faudrait y passer du temps.

Merci, Pieyre, de ces explications, même si elles expriment mieux (en termes mathématiques) la complexité du problème qu'elles ne le résolvent...

A défaut d'une mesure exacte, j'ai envisagé de me contenter d'une estimation par extrapolation. Je m'explique. Avec, disons, douze cases, la variété des grilles est déjà grande, mais pas forcément incommensurable, et avec quatorze non plus. Je peux me contenter de faire apparaître des tonnes de grilles au hasard, les compter, et constater qu'avec 14 cases j'en obtiens... un certain nombre de fois plus qu'avec 12, après quoi yorapuka extrapoler la tendance jusqu'à 30, 40, 50 cases. Ca ne serait pas hyper-rigoureux, mais ça mènerait à un résultat qui ne serait pas archi-faux (et qui serait sans l'ombre d'un doute sous-estimé et non surestimé, donc exploitable pour affirmer l'existence d'une gigantesque variété).

Cela dit, il faudrait en effet (ça a été évoqué plus haut par Levans) que je parvienne à répondre par oui ou par non et sans erreur à la question "telle grille est-elle différente de telle autre", ce qui n'est pas évident, au moins compte tenu des symétries. D'un point de vue algorithmique, il me serait assez facile de faire l'inventaire des nombres de segments partant de chaque sommet, de classer tout ça pour chaque grille, et de conclure avec certitude, chaque fois que j'obtiens deux classements différents, que je suis en présence de deux grilles différentes; évidemment, ça me ferait sous-estimer considérablement la diversité des grilles, mais ça pourrait me permettre d'obtenir un nombre minimal de grilles différentes, et un taux d'accroissement minimal de la complexité chaque fois qu'on ajoute un sommet  -- donc j'aboutirais bien, en extrapolant ça, à une sous-estimation minimale, qui pour moi serait précieuse (y compris si elle était plusieurs milliards de fois inférieure à la quantité réelle).

C'est beaucoup de tintouin pour obtenir un résultat archi-sous-estimé... Mais je soupçonne que ça pourrait fournir des idées pour aboutir à une démarche plus rigoureuse.

En tout cas, là, tout de suite, j'avoue que j'ai un peu la flemme.

Au fait, personne n'a trouvé ce qui foirait il y a trois posts dans ma façon de dessiner mon cavexe 1? Ce n'est pas très difficile à remarquer (et c'est en plus très pédagogique pour la résolution des grilles, raison pour laquelle je vous titille à ce sujet), mais c'est un peu plus difficile à exprimer en termes mathématiques rigoureux... même que je le ferai plus tard parce que là j'ai un train à prendre.

Personne ne répond à ma question sur le cavexe foireux de la grille "decembre"... C'est dommage car ça tend à faire penser que je ne suis pas parvenu à vous faire vraiment comprendre l'intérêt d'un cavexe bien formé pour la résolution d'une grille et j'en suis fort marri.

Bon, ben je vous explique, et pardon si j'ai l'air de me répéter un peu, mais c'est important.

Dessiner un cavexe, c'est fantasmer sur la fin de la résolution d'une grille. Les coups que l'on joue pour dessiner le cavexe sont voués à être rejoués en ordre inverse, à la fin de la résolution d'une grille. Il faut donc se limiter à construire le cavexe avec des coups "réversibles", qui conduiraient à prendre les mêmes groupes de trois cases dans un sens chronologique comme dans l'autre. Et cela implique qu'un bon "coup de cavexe" soit constitué de trois cases ayant toutes deux voisins à l'intérieur du cavexe, le troisième voisin étant à l'extérieur d'icelui.

Pour le dire autrement, il faut dessiner le cavexe comme une accumulation de bosses de trois cases, bombées avec un creux vers l'intérieur du cavexe, et surtout ne comportant jamais une pointe cornue sortant du cavexe avec deux côtés voisins de cases n'appartenant pas à celui-ci.

Ouais, c'est bien compliqué, ça sera plus clair si vous envisagez la chose visuellement. Retournez donc, siouplaît, sur la grille "decembre".

Je dessine le polygone final (un heptagone) en bleu en cliquant par exemple sur 16, 17, 30, 23 et 18. A y est, vous visualisez l'heptagone bleu?

Maintenant, si je clique 37, j'obtiens trois cases jaunes ayant toutes et chacune deux voisins dans le cavexe. Pour la case 36, ce sont les cases 29 et 37. Pour la case 38, ce sont 30 et 37, et pour la case 37, ce sont évidemment 36 et 38. Tous ces numéros désignent des cases faisant partie du cavexe.

Continuons. Si je clique 10, je prends trois cases colorées en jaune. La case 15 a deux voisins dans le cavexe (10 et 16), la case 11 a deux voisins dans le cavexe (10 et 17), et la case 10 a deux voisins dans le cavexe (15 et 11), donc tout va bien.

Terminons. Si je clique 2, je prends là encore trois cases colorées en jaune. La case 1 a deux voisins dans le cavexe (2 et 10), la case 3 a deux voisins dans le cavexe (11 et 2) et la case 2 a elle aussi deux voisins dans le cavexe vu qu'elle en a même trois (37, 1 et 3). Donc mon cavexe est valide, hallelujah.

Et si j'agrandis encore le cavexe (ce qui n'est pas nécessaire, mais permis), je peux cliquer sur 12, et j'obtiens trois nouvelles cases jaunes ayant chacune deux voisins dans le cavexe; pour 4, ce sont les cases 3 et 12; pour 19, ce sont les cases 18 et 12, et pour 12, ce sont les cases 4 et 19. Tout baigne.

Mais ça, c'est la solution -- valide -- que j'aurais dû vous indiquer. Or je vous en ai indiqué une autre, qui, elle, est erronée.

Je vous ai dit (par erreur) de colorer en bleu un autre heptagone que l'heptagone final, par 3, 4, 18, 11, 12. Jusque là, ça a l'air d'aller.

Puis je vous ai dit de cliquer 15. C'est valide, ça prend trois cases jaunes ayant toutes et chacune deux voisins dans le cavexe: 10 qui a pour voisins 15 et 11, 16 qui a pour voisins 15 et 17, et 15 qui a pour voisins 10 et 16. Jusque là, ça va donc encore.

Mais ensuite, je me suis trompé. Là, je vous ai dit de cliquer sur 37, ce qui certes prend trois cases jaunes (37, 1 et 2), mais il y a un mais. La case 1 a bien deux voisins dans le cavexe (10 et 2), 2 a bien deux voisins dans le cavexe (1 et 3), mais 37 n'a qu'un voisin (la case 2) dans le cavexe, contre deux voisins hors du cavexe (36 et 38).

Et là, c'est raté. Si on rejoue cette séquence à l'envers, 36 et 38, qui sont hors du cavexe et donc censées être déjà prises à ce stade du récit, auront forcément déjà coloré la case 37. Donc nous sommes en présence d'un cavexe mal pensé.

Je sais, dit comme ça, ça a pas l'air simple... mais en fait, il suffit de se rendre compte que la case 37 a l'air d'une corne isolée sortant du cavexe, au lieu d'appartenir à une bosse de trois cases s'ajoutant à un cavexe qui garde un sympathique aspect gonflé et rondouillard. Visuellement, ça se voit au premier coup d'oeil, et l'abondant baratin logique que je viens de vous débiter est complètement superflu pour un joueur entraîné qui a appris à reconnaître la forme rondouillarde d'un cavexe en formation, et la forme cornue et diabolique d'un cavexe foireux.

Le diable est dans les détails... et dans les cornes du cavexe.

Bon. M'inspirant des travaux et des schémas de Levans (merci à lui), je poursuis sur mon idée de noter de façon concise mais relativement complète les propriétés d'une grille, de façon à pouvoir affirmer sans risque d'erreur que deux grilles sont différentes, en dépit des symétries et des bizarreries d'affichage qu'entraîne la nature torique du bazar.



Voici une grille de 18 cases et donc 9 sommets (sur un tore, les cases sont bougrement plus faciles à compter que les sommets). Sauf erreur ou omission, un de ces sommets (en bas à droite) est au centre d'un quadrilatère, deux sont au centre d'un pentagone, quatre sont au centre d'un hexagone et deux d'un octogone (1 + 2 + 4 + 2 = 9, le compte est bon).

On pourrait noter ça de façon concise:
9
4 : 1
5 : 2
6 : 4
8 : 2

avec bien sûr un classement rigoureux du nombre de cases autour d'un sommet (ici, en ordre croissant).

Et de façon encore plus concise (pour faciliter les traitements informatiques, par exemple avec le programme sort d'Unix pour ceux qui connaissent): 9;4:1;5:2;6:4;8:2. C'est pas super-lisible pour un humain, mais un ordinateur s'en sort très bien, arrive sans problème à classer des inventaires de descriptifs de ce type et du coup, quand deux grilles auront des descriptifs différents, on pourra assurer sans l'ombre d'un doute qu'elles sont différentes.

L'inverse n'est pas vrai, mais c'est un début.

Je poste déjà ça, et je reviens ensuite avec un perfectionnement.

Dans la notation que je viens de définir, plusieurs grilles très différentes peuvent avoir le même descriptif. Avec neuf sommets, ça permettrait déjà de faire un peu le tri, mais quand on va atteindre la vingtaine ce sera nettement insuffisant. Je propose donc un perfectionnement (une chinoiserie, même, car ça devient assez complexe -- mais toujours gérable par un programme comme le sort d'Unix): noter non seulement le nombre de cases autour de chaque sommet, mais aussi le nombre de cases autour des sommets à la périphérie du polygone convexe ayant le sommet pour centre.

Ouh la, que ce que je dis est compliqué. Reprenez la figure du post précédent, regardez le quadrilatère en bas à droite. Autour du sommet central marqué du chiffre 4, il y a deux sommets marqués du chiffre 6 et deux du chiffre 8. Je propose qu'au lieu de noter juste 4, on détaille un peu: 4 (6 : 2; 8 : 2).

Je sais, ça ne lève pas toutes les confusions. Sur l'exemple dont je vous parle, si on fait le tour des sommets du périmètre, on lit dans l'ordre 6 - 8 - 6 - 8, mais ça pourrait aussi être 6 - 6 - 8 - 8 et dans ce cas on aurait de toute évidence deux quadrilatères différents. Je pense quand même que si on applique ce mode de notation pour l'ensemble de la grille, jusqu'à une vingtaine de cases il sera vraiment bien rare que deux grilles différentes aient exactement parfaitement le même descriptif -- donc compter les descriptifs différents permettra de se faire une idée très légèrement sous-estimée (je préfère ça que le contraire) de la diversité des grilles.

Bon, maintenant, je dois admettre que la notation ne sera pas super-concise ni super-lisible, puisqu'elle donnera quelque chose du genre (l'exemple est réel et correspond à la figure du post précédent -- sauf erreur ou omission):

neuf sommets: 9;
sommets de quadrilatères: 4(6:2;8:2):1;
sommets de pentagones: 5(5:1;6:3;8:1):2;
sommets d'hexagones:6(4:1;5:1;6:1;8:3):1;6(5:2;6:2;8:2):3;
sommets d'octogones: 8(4:1;5:1;6:5;8:1):2.

Surtout n'hésitez pas à me signaler une erreur...

Et donc, à l'usage du sort d'Unix, ça deviendrait un truc super-simple d'un point de vue informatique (non, je blague pas, c'est simple et à lire et à écrire... quand le boulot est fait par un programme informatique):

9;4(6:2;8:2):1;5(5:1;6:3;8:1):2;6(4:1;5:1;6:1;8:3):1;6(5:2;6:2;8:2):3;8(4:1;5:1;6:5;8:1):2

Sans qu'il soit tout à fait exclu que deux grilles différentes aient le même descriptif, je pense qu'on peut dire raisonnablement que jusqu'à une vingtaine de sommets ça ne sera quand même pas très fréquent en proportion. Un descriptif permettra donc d'identifier une grille avec un peu le même taux d'erreur qu'un ADN permet d'identifier un criminel.

Des objections? Des questions? D'autres idées?

Quelqu'un a suivi?

(ton désespéré) Au moins la démarche générale?

Je pense que c'est une voie où il sera plus facile de trouver une minoration en effet (même si une description théorique précise du graphe torique correspondrait peut-être à un cas déjà traité dans la littérature).

J'avais pensé à une façon un peu différente, mais en m'inspirant aussi d'une description des grilles. J'envisageai de partir d'une grille régulière de triangles reliés par six angles, c'est-à-dire correspondant à un pavage par des hexagones dans la représentation duale, que j'adopte par la suite pour exprimer les choses plus facilement.

À partir de ce pavage hexagonal, qui correspond déjà à une grille possible, on peut se demander de combien de façon le transformer pour obtenir d'autres grilles, et cela en modifiant juste quelques hexagones.

Par exemple, si l'on transforme un hexagone en pentagone, cela peut se répercuter juste sur un autre hexagone relié au premier par un côté, qui deviendra lui-même un pentagone, le reste de la structure restant inchangée. Combien de grille peuvent comporter un tel double pentagone ? Eh bien une seule, par translation ou rotation de la grille sur le tore. Mais, si l'on introduit un autre double pentagone un peu plus loin, on aura déjà toute une série de grilles : il suffit de compter de combien de façons deux doubles pentagones peuvent être diversement éloignés et diversement orientés l'un par rapport à l'autre.

De même on peut transformer un hexagone en carré, avec deux hexagones voisins qui deviennent des pentagones, et établir un comptage du nombre de grilles possible en disposant deux figures de ce genre sur le pavage.

Et puis on peut associer les deux motifs : double pentagone et carré + double pentagone, pour en obtenir d'autres.

Il s'agirait d'établir une liste des modifications locales du pavage hexagonal qui pourrait être combinées de sorte que le nombre de leurs dispositions serait facile à établir.

Maintenant, pour une grille d'une vingtaine de triangles, je ne pense pas que l'on pourra dépasser l'ordre de la centaine. Ou alors il faudrait faire intervenir de nombreux assemblages de polygones, ce qui pourrait être fastidieux.

C'est pas bête du tout, ça, Pieyre...

Mais immédiatement je me demande à quoi pourrait ressembler un assemblage d'hexagones représenté sur un schéma carré (ne coupant évidemment pas une case triangulaire de part et d'autre des contours du carré, sinon ça ne ressemblerait plus à mes grilles). Ca n'est sûrement pas impossible (quitte à déformer pas mal les hexagones à proximité des bords et des coins du carré), mais je n'arrive pas à me le figurer -- or le faire m'aiderait à réfléchir.

Donc... j'y réfléchis!

Dans ton maillage par des triangles, il était nécessaire, pour des raisons pratiques, et heureusement possible, qu'ils entrent sans être coupés dans le schéma carré. Mais, dans la représentation duale, les polygones de Voronoï ne peuvent pas respecter la même contrainte.

Peut-être pourrais-tu dessiner cette représentation duale sur tes grilles. Il suffit de relier les centres de gravité de tous les triangles qui se touchent par un côté (et tenir compte des triangles ayant un côté sur l'un des bords du carré, en traçant un segment horizontal ou vertical vers le bord). Je crois que cela peut aider à se représenter la structure d'une grille. Déjà il y a moitié moins de polygones que de triangles, et puis leur diversité de forme permet sans doute de se représenter mieux en quoi deux grilles sont ou non équivalentes.

Bon, je ne sais pas si ça fera beaucoup avancer le schmilblick, mais je suis parvenu à dessiner un réseau hexagonal sur la représentation carrée d'un tore. Bel effort (c'était prise de tête, ce truc...).



Et maintenant que j'arrive à le concevoir, je n'aurais pas forcément beaucoup de difficultés à en faire une grille clicable, histoire de l'étudier plus commodément. Je vous tiendrai au courant si j'y arrive.

Tes hexagones sont disposés de façon oblique. Il y a aussi une configuration tu aurais deux hexagones de côtés égaux au même niveau vertical.
Enfin, quand je dis oblique, c'est par rapport à l'horizontale. Par rapport à la verticale, ils sont alignés.

On peut obtenir une telle configuration en traçant un réseau de triangles équilatéraux et en appliquant dessus une grille carrée passant par des sommets.

Mais je suis vraiment une nouille, moi! Il y a une représentation beaucoup plus facile à comprendre:



... mais on n'a pas tout perdu, car ceci nous fournit un merveilleux exemple du fait que deux représentations graphiquement très différentes peuvent servir à décrire un seul et unique assemblage de polygones sur un tore. Je suis bien content d'avoir trouvé cet exemple, tiens.

Soit dit en passant, selon la logique que j'ai expliquée plus haut, cette grille serait notée 12;6(6:6):12 -- et ce dans les deux cas, bien évidemment.

Ce qui serait nettement plus clair, n'est-il pas vrai?

Pieyre a écrit:On peut obtenir une telle configuration en traçant un réseau de triangles équilatéraux et en appliquant dessus une grille carrée passant par des sommets.

Je serais preneur d'un petit dessin.

Voici ! tu m'excuseras de la mauvaise qualité, mais j'ai préféré faire ça avec mes petites mains.

Oui, c'est concevable, mais ça oblige à répartir certaines cases de part et d'autre du tore -- ce qui empêche de considérer ta figure comme une grille Triancey orthodoxe.

Par ailleurs, ta figure a une superficie de vingt cases (sauf erreur de ma part, le réseau hexagonal exige que le nombre de cases soit un multiple de six). Il faudrait abaisser le trait inférieur d'un demi-triangle équilatéral pour passer à une superficie de vingt-quatre cases et faire en sorte que les motifs se correspondent bien en haut et en bas. Mais on comprend l'idée.

N'empêche, pour les raisonnements que tu te proposais d'effectuer, je pense que ma deuxième figure, hyper-régulière, est très facile à exploiter et à comprendre.

Moi aussi j'ai eu tendance à ne pas compter tous les triangles. Mais regarde bien : il y en a 24, et la grille est orthodoxe.

Par ailleurs, je ne prétendais pas imposer un modèle, mais indiquer une méthode simple pour obtenir une grille régulière. Et je reconnais que ta grille a l'avantage de présenter des triangles identiques, notamment de même aire, ce qui évite de se poser la question que tu as soulevée des triangles trop petits pour être acceptables.

Pendant que j'y suis, à ce sujet, j'ai l'impression que dans ta version commerciale, les triangles ne sont pas de même aire, justement. C'est-à-dire qu'y placer les pièces triangulaires bicolores, forcément des triangles équilatéraux, pourrait les recouvrir plus ou moins. N'y aurait-il pas une transformation simple de la grille, qui consisterait à déplacer juste un peu les sommets, de sorte que tous les triangles soient de même aire ?

... Je comprends un peu tardivement la référence à la superficie. Bon, alors j'ajoute que si la superficie est bien de 20 triangles équilatéraux, il me semble que cela importe peu. Il y a en a bien 24 en tout, certains entiers et certains demi-entiers. Mais c'est juste une question de découpage.
Ce qui est vrai c'est que, sur le tore, le fait de couper les triangles en deux fait que le maillage n'est pas régulier. Alors que le tien l'est. C'est d'ailleurs intéressant. La figure de référence, c'est le tore. On ne peut pas conserver toutes les propriétés de son maillage régulier sur le carré; aussi il faut choisir d'en sacrifier au moins une. J'ai sacrifié la régularité de certains triangles du bord; tu as sacrifié l'équilatéralité.

... J'ajoute encore une chose (j'ai l'esprit de l'escalier). Et si tu envisageais dans ta version commerciale une grille hexagonale ? C'est tout de même plus en rapport avec le triangle que ne l'est le carré... Alors il pourrait y avoir ou bien deux joueurs, ou bien quatre, ou bien six. Pour six, il suffirait de disposer de dés cubiques à six couleurs à la place des triangles bicolores. Pour quatre il est moins évident de trouver une pièce acceptable, dans la mesure où le tétraèdre ne peut reposer sur sa pointe pour montrer la couleur du joueur... Mais on doit pouvoir trouver une solution.

Pieyre a écrit:Moi aussi j'ai eu tendance à ne pas compter tous les triangles. Mais regarde bien : il y en a 24, et la grille est orthodoxe.

Ah, OK. Mais alors elle n'est pas intégralement composée de triangles équilatéraux -- je croyais que c'était ça l'idée.

Pendant que j'y suis, à ce sujet, j'ai l'impression que dans ta version commerciale, les triangles ne sont pas de même aire, justement.

En effet. En théorie, la disproportion maximale est de 1 à 3: la plus petite case peut être presque trois fois plus petite que la plus grande (en pratique, ça ne va guère au-delà de deux)... tout simplement parce qu'au-delà, il serait possible de rajouter un sommet au milieu d'un gros triangle pour le transformer en trois petits.

C'est-à-dire qu'y placer les pièces triangulaires bicolores, forcément des triangles équilatéraux, pourrait les recouvrir plus ou moins. N'y aurait-il pas une transformation simple de la grille, qui consisterait à déplacer juste un peu les sommets, de sorte que tous les triangles soient de même aire ?

Ah, la passion égalitariste du peuple français...  

Je n'ai pas creusé à fond la question, mais je pense que ce serait assez délicat: chaque case appartient à trois polygones, donc on est en présence d'un joli sac de noeuds... En tout cas, toute modification des aires des cases aurait forcément, aussi, une influence sur la disproportion entre les longueurs des côtés (en théorie, le côté le plus long est deux fois plus long que le plus petit), sans préjudice de la disproportion entre les angles des triangles (en théorie, le plus obtus peut être quatre fois plus large que le plus aigu -- en pratique, c'est beaucoup moins).

Je peux me tromper, mais je crois qu'essayer d'unifier les aires, ou tout au moins de diminuer les disproportions entre elles, ce serait se donner beaucoup de mal pour aboutir à quelque chose que des râleurs trouveraient toujours moyen de critiquer ... car le seul moyen d'avoir des choses vraiment égales, c'est l'emploi systématique du triangle équilatéral, avec donc toujours six cases autour de chaque sommet -- or l'intérêt du jeu, c'est précisément l'irrégularité et l'asymétrie, la présence de penta-hexa-heptagones, avec l'imprévisibilité qui va avec.

J'ai donc fait l'impasse sur le problème, constaté que ça n'empêchait pas du tout les gens de jouer (au pire, les pions débordent parfois un peu des cases, la belle affaire), et je me suis remémoré la sagesse de ma regrettée grand-mère pour qui le mieux était le plus souvent l'ennemi du bien. J'admets que c'est une philosophie de sale feignasse... mais bon, je suis partisan du moindre effort et j'assume!

Pieyre a écrit:J'ajoute encore une chose (j'ai l'esprit de l'escalier). Et si tu envisageais dans ta version commerciale une grille hexagonale ? C'est tout de même plus en rapport avec le triangle que ne l'est le carré... Alors il pourrait y avoir ou bien deux joueurs, ou bien quatre, ou bien six. Pour six, il suffirait de disposer de dés cubiques à six couleurs à la place des triangles bicolores. Pour quatre il est moins évident de trouver une pièce acceptable, dans la mesure où le tétraèdre ne peut reposer sur sa pointe pour montrer la couleur du joueur... Mais on doit pouvoir trouver une solution.

Merci pour l'idée.

En pratique, j'ai déjà une certaine difficulté à convaincre ne serait-ce qu'UN adversaire de jouer... ce qui fait que je ne me suis pas senti très motivé pour travailler sur une version qui me forcerait à en convaincre trois ou cinq simultanément. J'envisagerai ça... disons dès que la version à deux joueurs aura remporté le succès planétaire qu'elle mérite! (en toute modestie)

J'avoue, c'est une façon élégante de me défiler.

Au fait, la version "commerciale" (à deux joueurs: ce n'est pas le casse-tête dont il est question sur ce fil) ne se joue pas sur un carré, mais sur un rectangle; et pas sur un tore, mais sur un cylindre. En pratique, j'ai constaté que les joueurs trouvaient ça beaucoup moins abstrait, notamment les enfants.

Je suis à peu près sûr qu'on peut obtenir une grille équivalente à une grille donnée qui soit composée de triangles de même aire. Je propose en pratique la méthode suivante : on détermine le triangle d'aire maximale et, parmi les triangles qui ont un côté commun avec lui, celui qui est d'aire minimale; alors on déplace les deux sommets de leur côté commun jusqu'à les rendre égaux; et l'on itère. Je pense que cela doit converger.

... Quant à ma proposition de grille hexagonale, j'ai oublié un cas : celui de trois joueurs. Et puis qu'il y ait 3, 4 ou 6 joueurs (ou même 5 après tout), on peut toujours utiliser un dé à six couleurs, certaines couleurs ne correspondant pas forcément à un joueur effectif.

Pieyre a écrit:Je suis à peu près sûr qu'on peut obtenir une grille équivalente à une grille donnée qui soit composée de triangles de même aire. Je propose en pratique la méthode suivante : on détermine le triangle d'aire maximale et, parmi les triangles qui ont un côté commun avec lui, celui qui est d'aire minimale; alors on déplace les deux sommets de leur côté commun jusqu'à les rendre égaux; et l'on itère. Je pense que cela doit converger.

Mais cela n'aura pas qu'une influence sur ces deux cases que l'on cherche à équilibrer, mais aussi sur les autres cases ayant les points déplacés pour sommets...



Si je cherche à réduire la disproportion entre les aires 4 et 5 en déplaçant les deux points noirs, ça ne va pas affecter que 4 et 5, mais aussi 0, 1, 2, 3, 7, 8, 9 et 10... Est-on sûr que cette modification ira forcément dans le sens d'un équilibrage de toutes les surfaces? Je ne dis pas que c'est faux, mais ça ne me paraît pas démontré non plus.

Mon algorithme de constitution de grilles se contente, lui, de déplacer les deux points noirs (ainsi que le sommet commun aux cases 3, 5, 6 et 8 ) vers le barycentre du polygone qui entoure chacun d'entre eux. Ca équilibre un peu et c'est déjà pas mal... Tu es sûr de pouvoir faire mieux?

Comme ça, j'aurais pensé à déplacer les deux sommets noirs vers la gauche (enfin la normale au segment orientée vers la case de plus grande aire), de façon diminuer la disproportion entre les cases 4 et 5 (les deux ensemble, pour ne pas rendre plus aigus les angles de la case 5). Mais il faudrait en effet tenir compte des cases voisines que tu mentionnes. Alors on pourrait alterner ce déplacement avec un rapprochement de ces deux sommets noirs (dans d'autres cas ce pourrait être un éloignement).

Par ailleurs ton critère des barycentres me plaît bien, parce qu'il correspond à une formule et non à un ajustement progressif comme ce que j'envisage. Je n'ai peut-être pas bien compris mais ne serait-il pas possible de l'itérer dans la perspective de faire converger la répartition des aires ?

Sinon, je pense que le problème a déjà été traité quelque part. J'ai juste trouvé une thèse, Développement de modèles graphiques probabilistes pour analyser et remailler les maillages triangulaires 2-variétés. Elle concerne les maillages surfaciques, de façon plus générale que la question que l'on envisage sur la représentation carrée. On doit donc pouvoir trouver des méthodes plus simples. En plus il est question de remaillage et pas seulement de déplacement des sommets. Mais certaines méthodes me paraissent aller dans le sens de ce dont on discute (voir p. 30 notamment).

Toutes ces considérations théoriques sont fascinantes, et je ne renonce pas du tout à les creuser dans les jours qui viennent... Mais bon, permettez-moi de revenir quand même un peu à mon jeujeu.

J'ai entamé ce fil il y a un peu moins de deux semaines, ce qui a été amplement suffisant pour me permettre d'étudier la résolution des 34 grilles que j'ai mises à votre disposition. Je vous en redonne la liste, en vous indiquant ce que j'estime être leur degré de difficulté. C'est évalué au doigt mouillé, en fonction du mal que je me suis donné, moi-je, pour les résoudre. Comme soit dit sans vouloir vous vexer vous êtes tous débutants dans ce jeu, je pense que de votre point de vue toutes les grilles peuvent être jugées difficiles, raison pour laquelle je me propose d'en étudier en détail quelques-unes dans les jours qui viennent, par ordre de difficulté croissant.

Bon, déjà, voici l'inventaire brut de fonderie, on verra après comment s'y attaquer.

Les douze mois de l'année
janvier - Très facile (nous l'avons déjà étudiée)
février - Difficile
mars - Difficulté moyenne
avril - Difficulté moyenne
mai - Facile
juin - Difficulté moyenne
juillet - Particulier
aout - Difficulté moyenne
septembre - "Cinq ou huit"
octobre - Facile
novembre - Difficulté moyenne
decembre - Difficile (nous l'avons déjà étudiée, et avons vu que la difficulté peut venir du fait qu'on peut se braquer sur une hypothèse de résolution irréalisable)

Blanche-Neige et les sept nains
blancheneige - Difficile
atchoum - Facile
dormeur - Difficile
grincheux - Difficulté moyenne
joyeux - Difficulté moyenne
prof - "Cinq ou huit"
simplet - Difficulté moyenne
timide - Difficulté moyenne

Les présidents de la Cinquième République
degaulle - Difficulté moyenne
pompidou - Difficulté moyenne
giscard - "Cinq ou huit"
mitterrand - Difficulté moyenne
chirac - Particulier (nous l'avons déjà étudiée)
sarkozy - Difficulté moyenne
hollande - Difficulté moyenne

Les sept jours de la semaine
lundi - Facile
mardi - Difficulté moyenne
mercredi - Difficulté moyenne
jeudi - "Cinq ou huit"
vendredi - Difficulté moyenne
samedi - "Cinq ou huit"
dimanche - "Cinq ou huit"

Il faudra que je vous explique ce que j'entends par "cinq ou huit" -- dans l'immédiat, ne vous attaquez pas à ces grilles, dont la difficulté est un peu spécifique (c'est à la fois plus simple et plus compliqué).

Bon. Commençons par les grilles faciles... J'ai noté que la grille "mai" était facile, ça doit être vrai:



Voyons voir... Ah oui, en effet, elle est facile et même très facile, mais elle n'a pas grand mérite à ça parce que c'est une grille insoluble.

Entendons-nous. A strictement parler, il n'y a pas de grille Triancey insoluble, il y a toujours un optimum pour toutes les grilles quelles qu'elles soient. Mais certaines ne peuvent pas être résolues de façon classique, en sacrifiant deux cases au départ et à la fin un polygone convexe qui sera un pentagone, un hexagone ou un heptagone. Eh bien, sur la grille que je vous présente aujourd'hui, on ne peut pas atteindre un tel optimum. En revanche, on peut tout de suite comprendre pourquoi.

Et c'est très simple. La grille a 40 cases. Donc, si j'en sacrifie deux au départ, il en restera 38, et 38 est un multiple de 3 majoré de deux, donc le polygone final devrait en théorie être lui-même un multiple de 3 majoré de deux, donc idéalement un pentagone.

Y a-t-il des pentagones sur cette grille? Oui-da: en haut à gauche, il y en a un qui a une tête de carré (9, 1, 12, 10, 11), en bas il y en a un joli (26, 20, 29, 27, 28), et il y en a encore un réparti de part et d'autre des bords gauche et droit (15 et 19 à gauche, 18, 23 et 24 à droite). Sauf erreur de ma part, c'est tout... et ça n'est pas assez.

Car, nous l'avons déjà vu, l'avant-dernier coup d'une partie à score optimal "classique" doit être joué sur un pentagone. Je rappelle pourquoi: l'avant-dernier coup doit être joué sur un polygone marié au polygone final, sur les grilles Triancey les polygones mariés le sont presque toujours en ayant deux cases en commun, or pour que l'avant-dernier coup soit gagnant, il faudrait qu'il prenne trois cases simultanément à l'exclusion des deux cases appartenant aussi au polygone final, trois jaunes + deux partagées avec le polygone final = 5, donc l'avant-dernier coup doit être joué sur un pentagone. Toujours, toujours, toujours.

Enfin, sauf exception, comme sur la grille "mai" qui nous occupe, quand il faut se résoudre à un score optimal moins bon que le score optimal "classique".

Y a-t-il sur notre grille "mai" deux pentagones mariés sur lesquels nous pourrions jouer l'avant-dernier et le dernier coup? Nenni-da. Il faut donc revoir nos ambitions à la baisse, et terminer non pas sur un pentagone, mais sur un ensemble de huit cases. Et comme vous le voyez, on peut s'en rendre compte sans même avoir eu besoin de cliquer la moindre case, suffit d'ouvrir ses yeux et de compter.

Et terminer sur huit cases, c'est souvent très facile et ça l'est effectivement sur cette grille. Même qu'il y a au moins trois façons également élégantes de le faire.

Saurez-vous en trouver une?

Bon, allons-y, résolvons cette grille "mai".

Moyen le plus simple et de très loin: prendre un couloir... et pas n'importe lequel: un couloir de huit cases. Il y en a un beau qui crève les yeux dans la colonne de gauche. Et ça peut nous donner, par exemple: 1 20 11 4 13 27 28 37 21 24 38 14... et le dernier, coup, comme très souvent, est indifférent: quoi qu'on fasse ensuite, on prendra le couloir de huit cases.

Moyen assez classique également envisageable: terminer sur un octogone. Où y a-t-il un octogone dans cette grille? Sauf erreur de ma part, il n'y en a qu'un: l'ensemble des cases 15, 10, 11, 16, 19, 25, 26 et 20. On peut classiquement s'en servir pour dessiner un cavexe pas trop dodu... Par exemple, vous pouvez le photographier mentalement après avoir cliqué sur les cases 15, 16, 26, 25, 10 (bleu), 1, 33 (jaune): voici un cavexe très facile à photographier mentalement, vu qu'il est coincé contre le bord gauche.

Alors y a plus qu'à, allons-y: 2 5 35 27 37 21 17 24 38 14 (hors du cavexe), puis 33 1 10 (dedans).

Moyen le plus élégant à mon sens: terminer sur les deux quadrilatères... ce qui suppose déjà qu'on les ait repérés: 1, 2, 3, 12 d'une part, 6, 7, 37, 38 d'autre part. A vrai dire, j'ai essayé et pas réussi, mais mon solveur, lui, y arrive très bien: 29 23 30 19 26 10 34 4 39 11 13 9 37 2. Enfoirée d'intelligence artificielle, quel talent elle a.

Moyen moche juste pour faire le kakou et montrer ma virtuosité: terminer sur un hexagone marié à un quadrilatère (6 + 4, moins 2 cases en commun = 8 ). On doit pouvoir le faire en dessinant un cavexe ainsi: 6 7 37 35 4 (bleu), 14 31 23 22 (jaune)... et voilà un joli cavexe facile à photographier mentalement car coincé contre le côté droit. Appliquons cette belle stratégie, et ça nous fait par exemple: 28 11 20 25 15 1 2 32 (hors du cavexe), 22 23 31 14 35 37 (dedans).

Quand on vous dit que ça n'est pas bien malin, en fait...

Esprit de l'escalier... Quand nous avons parlé de la possibilité d'inscrire un réseau hexagonal sur un tore carré, nous avons cru pouvoir affirmer qu'il y avait plusieurs façons de décrire le même réseau. Eh bien, c'était aller un peu vite en besogne...



... car ces deux réseaux, s'ils sont effectivement tous deux constitués exclusivement d'hexagones, sont quand même différents. A gauche, nous avons, réparti autour des quatre coins, un hexagone constitué des cases 0,4,7,3,23,20 -- qui n'existe pas à droite; et à droite, nous avons, réparti autour des quatre coins, un hexagone constitué des cases 20,15,11,7,12,16, qui n'existe pas à gauche. Les autres cases ont pourtant l'air d'être disposées rigoureusement de la même façon les unes par rapport aux autres et autour des sommets.

En fait, à gauche, le réseau hexagonal est inscrit parallèlement à un axe du tore, alors qu'à droite, il est torsadé.

C'est prise de tête, hein?

Oui, c'est prise de tête pour se représenter tout ça sur le tore.
Si tu tournes le réseau de gauche de 90°, tu obtiens des hexagones orientés dans l'autre sens, mais avec le même parallélisme. Si tu tournes celui de droite de 90°, tu obtiens la torsade inverse (enfin si ma tête n'est pas trop prise).

Notre problème du jour sera la grille "octobre" (pardon de hurler, mais avec les images cette ligne passait inaperçue).



Je l'ai déclarée facile dans mon inventaire... or en la refaisant je la trouve, somme toute, assez rétive et récalcitrante, la coquine. Je l'ai peut-être déclarée telle parce qu'il y a un cavexe concis et facile à photographier mentalement qui me saute aux yeux... mais sans mon entraînement je doute que vous partagiez cette impression.

Allez, procédons avec ordre et méthode. C'est une grille de 38 cases, donc je dois terminer sur un hexagone (38 - 2 cases sacrifiées au début = 36, qui est un multiple de 3, donc le polygone final doit être un multiple de 3). Comme nous savons que l'avant-dernier coup doit être joué sur un pentagone (reportez-vous aux épisodes précédents), nous cherchons donc sur cette figure un hexagone marié à un pentagone. Et justement (mais ça, c'est l'entraînement), je repère du premier coup d'oeil un hexagone bigame, marié à deux pentagones, que demande le peuple:



Et à partir de là faudrait vraiment être une moule pour ne pas voir qu'on peut construire un joli cavexe très facile à photographier mentalement car coincé contre le côté gauche. Vous pouvez le reconstituer vous-mêmes par la séquence de coups 8,17,9,15 (bleu), puis 1,22,28,33 (jaune).



Jusque là, comme dirait mon oncle (un fameux bricoleur), c'est vraiment de la tarte. En théorie, y a plus qu'à. Eh bien, essayez... Mais je vous préviens, le petit quadrilatère 31, 35, 37, 36, en bas à droite, va un peu vous casser les pieds... ou orienter votre réflexion, c'est selon.

De même qu'on reconnaît les bons joueurs d'échecs à leur façon de jouer les pions, on reconnaît les bons joueurs de Triancey "partrois" à leur façon de se débarrasser des quadrilatères.

Amusez-vous bien, solution en fin d'après-midi (mais d'ici là, je vous invite évidemment à mettre vous-mêmes fin au suspense -- ou à me montrer que vous pouvez imaginer des solutions encore nettement plus simples).

Bon. Nous parlons donc de la résolution de la grille "octobre". Voici la solution que j'ai trouvée à partir du cavexe suggéré dans le post précédent:

34 27 35 7 19 4 13 18 (hors du cavexe), 33 28 22 1 9 (dedans).

En voici une variante, issue, elle, du brillant cerveau artificiel de mon solveur:

19 18 25 14 36 4 35 31 (hors du cavexe), 33 32 2 23 8 (dedans).

Lequel solveur m'a d'ailleurs fait observer que d'autres cavexes étaient envisageables:



avec les séquences de coups suivantes:

cavexe0: 19 37 27 7 21 8 13 24 12 23 34 33 (11).
cavexe1: 25 11 23 16 20 31 32 36 29 3 2 6 (13).
cavexe2: 19 5 12 11 25 35 22 7 37 28 32 2 (9).

Ce sont des solutions informatiques, pas forcément faciles à trouver pour un cerveau humain. Cela dit, vous pouvez quand même vous inspirer des méthodes employées pour se débarrasser dès le début de partie de ce sale pervers de quadrilatère, tout en bas à droite, qui a dû prendre un malin plaisir à faire foirer tous vos efforts.

A demain!

Juste une petite proposition technique : ne crois-tu pas qu'il serait utile, quand on vient de cliquer sur une case et qu'on veut revenir en arrière, de pouvoir cliquer à nouveau sur cette case (visible grâce à la mise en évidence de son pourtour) plutôt que de déplacer le curseur jusqu'au bouton adéquat ? Mine de rien, quand on essaie systématiquement toutes les cases libres, cela ferait gagner du temps et surtout on ne risquerait pas d'oublier où l'on en était.

Pieyre a écrit:Juste une petite proposition technique : ne crois-tu pas qu'il serait utile, quand on vient de cliquer sur une case et qu'on veut revenir en arrière, de pouvoir cliquer à nouveau sur cette case (visible grâce à la mise en évidence de son pourtour) plutôt que de déplacer le curseur jusqu'au bouton adéquat ? Mine de rien, quand on essaie systématiquement toutes les cases libres, cela ferait gagner du temps et surtout on ne risquerait pas d'oublier où l'on en était.

Je ne te garantis pas que je vais le faire tout de suite, mais je vais y réfléchir. J'ai un peu peur que ça perturbe ceux qui n'auront pas lu le mode d'emploi -- et qui constituent toujours une forte proportion des utilisateurs! Mais ça pourrait en effet être intéressant, particulièrement pour les utilisateurs de tablettes et de smartphones, avec des écrans si petits que la grille et les touches de magnétoscope n'y tiennent pas simultanément.

Cela dit -- ce n'est pas pour me défiler --, je pense que ce n'est pas une bonne idée d'"essayer systématiquement toutes les cases libres": pour devenir bon à ce jeu (et à ses variantes), il est capital d'apprendre à anticiper, et à éliminer d'emblée un paquet de stratégies qu'on peut sans même les tester identifier comme vouées à l'échec. Il se trouve que cette façon de penser (éliminer ce qui ne peut que foirer pour tomber directement sur ce qui marche) correspond à mon tempérament (j'aime bien mon jeu!), mais je pense que dans l'absolu c'est préférable: c'est un jeu où la stratégie doit primer sur la tactique, et c'est notamment pour ça que j'insiste lourdement sur la nécessité de fantasmer un cavexe avant d'attaquer vraiment la partie.

Mais bien sûr, pour en arriver à réfléchir en termes stratégiques plutôt que tactiques, il faut déjà avoir acquis une bonne maîtrise de la tactique. Est-ce que l'interface que tu préconises y aiderait? Je vais y réfléchir.

Oui, tu as raison : ce n'est pas une bonne idée d'essayer les configurations de façon systématique. Mais il faut pardonner à un simple néophyte. Je ne me suis appliqué vraiment qu'à une seule de tes grilles; j'ai commencé en raisonnant, et puis à la fin j'ai essayé tout, ou quasiment, en traçant même à la main un arbre des configurations déjà explorées; et cela a marché plus rapidement que de me poser des questions relatives à la meilleure stratégie.

Salut les aminches! Le problème du jour sera la grille "atchoum":



Bon, ben c'est une petite grigrille des familles, archi-classique: rien que des pentagones, des hexagones et des heptagones... Ah non, il y a quand même un octogone, mais réparti sur les côtés inférieur et supérieur, en sorte qu'on ne le voit pas beaucoup. C'est pas grave, les octogones ne sont pratiquement jamais bloquants.

C'est une grille de 42 cases, donc nous visons... Qui sait répondre?

En effet, un heptagone, car 42 cases moins 2 sacrifiées au départ, ça nous fait 40, qui est un multiple de 3 majoré de 1, donc il faut terminer sur un polygone convexe ayant lui-même un nombre de cases représentant un multiple de 3 majoré de 1. C'est bien, c'est le métier qui rentre.

Vous dites, mon petit?

En effet, un quadrilatère a un nombre de cases multiple de 3 majoré de 1. Mais tu vois un quadrilatère sur cette grille, banane? Bon, alors, cherche pas midi à quatorze heures, cherche-moi plutôt un heptagone, et pas n'importe quel heptagone, un heptagone ma...

... un heptagone marié...

... un heptagone marié à un p-p-p...

... un heptagone marié à un pentagone, oui. Putain, faut vous tirer les mots de la bouche. Et quelqu'un peut m'expliquer pourquoi?

-- Parce que l'avant-dernier coup d'une partie à score optimal est toujours joué sur un pentagone, m'sieur.

-- Très bien, Agnan, encore que comme il y a des exceptions il soit préférable de dire "l'avant-dernier coup d'une partie à score optimal classique", mais c'est bien quand même.

Il paraît que c'est une grille facile, du moins c'est comme ça que je l'ai classée. Cela dit, ça ne veut pas dire grand-chose, car je n'ai pas mis six mois pour l'étudier, et parfois je trouve facile une grille sur laquelle j'ai simplement eu de la veine: dès le départ, un cavexe m'a sauté aux yeux et il était en effet exploitable -- mais si je m'étais braqué sur un autre cavexe ç'aurait été bien plus problématique. Bon, je ne vais pas être vache avec vous, voici le bon cavexe qui va bien:



Mais ce matin, quand je me suis remis à gamberger sur cette grille, j'en ai trouvé un autre qui m'a paru encore plus évident:



Eh bien je ne vous le recommande pas: il y a cinq minutes que je m'escrime dessus et je tourne en rond.

Solution(s) en fin d'après-midi. Bon courage, soyez méthodiques et réfléchis, cela vous mènera non seulement à la victoire, mais aussi à la vertu, "which is more", comme dirait Kipling.

Mon solveur, qui adore faire le malin, vous suggère six autres cavexes pour résoudre la grille "atchoum":



Tous sont exploitables, bien sûr. Cela dit, je continue de vous conseiller de vous acharner plutôt sur le premier que je vous ai montré, et qui reste assez simple.

Ce n'est pas pour vous humilier mais au contraire pour vous inciter à vous accrocher que je vous montre qu'il existe non pas une, mais une multitude de solutions -- et c'est vrai pour la plupart des grilles. Au départ, quand vous n'êtes pas habitués, vous avez certainement le sentiment de chercher une aiguille dans une meule de foin, une possibilité parmi... 42! (factorielle 42). Mais ce n'est pas du tout, du tout le cas.

D'abord, ramenons les choses à des proportions plus raisonnables.

Pour la première case, vous avez 42 possibilités.

Pour la deuxième, seulement 41.

Pour la troisième, seulement 40.

Pour la quatrième, seulement... 37 et pas 39 (cinq cases ont déjà été prises à ce stade).

Pour la cinquième, seulement 34. Pour la sixième, seulement 31, et ainsi de suite jusqu'à la treizième -- le quatorzième coup, qui termine la partie, est indifférent.

Donc, vous voyez, c'est pas factorielle 42, mais seulement 42 x 41 x 40 x 37 x 34 x 31 x 28 x 25 x 22 x 19 x 16 x 13 -- ça fait nettement moins, quand même!

Et puis ça, ça serait valable s'il n'y avait qu'une solution, mais je viens de vous montrer avec mes cavexes qu'il en existe au moins huit. Donc vous me divisez ça par huit.

En plus, parmi les coups intermédiaires, il est très courant que vous puissiez cliquer n'importe laquelle des trois cases prises simultanément. Donc divisez moi encore ça par 3 puissance 8, à l'aise.

Ca vous paraît encore beaucoup? Ouais, vous avez raison, ça fait encore pas mal. Ca fait encore énormément, même: dans les 3000 milliards.

Mais avec un peu de jugeotte, on peut s'en sortir, en fait, et c'est ça qu'est beau: vous pouvez trouver l'aiguille dans la meule de foin. C'est ça que j'aime dans ce jeu.

Allez, on s'accroche, courage!

Voici l'heure des solutions de la grille "atchoum".

Allez, je vais faire un truc vachement pédagogique: au lieu de vous balancer les solutions telles que, je vais d'abord vous les donner tronquées, amputées des cinq derniers coups -- mais la solution complète sera disponible sous spoiler. Je vous invite donc à essayer de trouver seuls les cinq derniers coups de la partie (quatre coups gagnants jaunes avant l'heptagone final coloré en bleu). C'est-il pas pédagogique et bienveillant, ça?   C'est du boulot, croyez pas que je ferai ça tous les jours...

Solution 1: 6 23 18 4 32 34 2 41 13... et trouvez les cinq derniers coups.

Solution complète:

Solution 2: 6 1 8 41 18 34 23 20 4... et trouvez les cinq derniers coups.

Solution complète:

Solution 3: 32 7 5 40 35 1 20 28 19... et trouvez les cinq derniers coups.

Solution complète:

Solution 4: 39 35 33 8 6 18 9 24 28... et trouvez les cinq derniers coups.

Solution complète:

Solution 5: 25 8 33 26 14 13 9 22 36... et trouvez les cinq derniers coups.

Solution complète:

Solution 6: 26 32 34 36 0 38 29 14 30... et trouvez les cinq derniers coups.

Solution complète:

Solution 7: 35 39 33 8 1 28 19 37 6... et trouvez les cinq derniers coups.

Solution complète:

Solution 8: 14 29 22 38 19 9 3 0 7... et trouvez les cinq derniers coups.

Solution complète:

Solution 9: 24 40 34 36 28 20 12 6 0... et trouvez les cinq derniers coups.

Solution complète:

'tain, c'est pas pour me vanter, mais vous ne serez vraiment pas les seuls à avoir bossé aujourd'hui...

Je vois toujours mon compteur qui s'incrémente et à peu près personne qui me dit où il en est de son apprentissage. Je ne peux pas vous forcer à raconter votre vie, mais ça n'aide pas ma pédagogie, ça... Dois-je continuer de ressasser les principes de base parce que la répétition est la base même de la pédagogie, ou au contraire risqué-je de vous paraître radotant si je n'avance pas assez vite? C'est tellement bizarre, la psychologie des surdoués...

Je peux difficilement me fonder sur la vitesse d'apprentissage de la seule personne que j'aie vu apprendre à jouer à ce jeu: moi. D'un côté, j'étais spécialement motivé par le fait que c'était mon jeujeu à moi, que comme je m'étais déjà donné un mal de chien à programmer l'interface, je n'allais pas laisser tomber sous le seul prétexte que ça me paraissait difficile. D'un autre côté, je n'avais aucun pédagogue pour m'expliquer comment m'y prendre -- à part mon solveur, dont vous ne disposez pas, mais qui est hyper-efficace pour faire passer l'idée qu'aucune grille n'est insoluble --, et je suis certain que j'aurais avancé beaucoup plus vite si on m'avait enseigné les principes de base que je vous ai déjà énoncés: nécessité de réfléchir au résultat de la division par trois du nombre de cases; les quatre théorèmes (premier coup, deuxième coup, dernier coup, avant-dernier coup); le concept de "cavexe" (découverte assez récente pour moi, mais qui a bien dû diviser par quinze mes temps de réflexion sur chaque grille).

J'essaye de faire passer l'idée (en fait deux idées, mais l'une est le symétrique de l'autre): 1) si vous attaquez la grille "à l'instinct", vous trouverez insoluble la grille la plus élémentaire; 2) si vous considérez la grille en raisonnant et avec méthode, vous viendrez à bout de pratiquement n'importe lesquelles, même les plus difficiles, et souvent même comme qui rigole. C'est très prêchi-précha, ça, mais d'une part c'est totalement vrai, d'autre part c'est complètement en accord avec la philosophie du cartésien que je suis devenu (de la raison et de la méthode, et on vient à bout de tout).

Donc, réagissez un peu, quoi...  

Au programme de la journée, nous avons la grille "lundi", dernière de ma liste que j'aie classée comme facile. Eh bien, c'est vrai, elle est vraiment très facile si vous avez bien pigé tout ce que je vous ai enseigné jusqu'ici. Si vous comprenez ce qu'il faut chercher dans une grille vierge avant d'en attaquer la résolution, vous remarquerez un cavexe qui va super-bien, et sur la base de ce cavexe, ce sera vraiment de la gnognotte.

Mais si vous n'avez pas encore compris, ben faut encore que vous étudiiez la chose...

La voici, la grille "lundi". Pour le moment, je ne vous dis rien du tout -- car je suivrais assez exactement la même démarche qu'hier à la même heure, donc plutôt que de radoter j'aimerais qu'il se trouve un Agnan ou un de ses petits camarades pour redire la même chose que le maître, mais avec ses mots à lui. Ca peut passer pour de l'imitation servile et je sais que ça n'est pas très valorisant de jouer les fayots... mais c'est une méthode d'apprentissage hyper-classique, employée depuis la plus haute antiquité, et qui a fait ses preuves.



Allez, expliquez-moi comment on attaque cette putain de grille, bordel! Je vous assure que je ne pourrai jamais vous dégoter un exemple plus facile à résoudre de manière archi-classique, méthodique et orthodoxe...

Bon, ben je vais continuer à monologuer, voire à radoter puisque la répétition est la base même de la pédagogie...

La grille "lundi" ayant des cases numérotées de 0 à 43 (de gauche à droite et de haut en bas), elle comporte donc 44 cases. Pour commencer à prendre les cases trois par trois sur une grille Triancey, il faut presque toujours commencer par sacrifier deux cases, 44 - 2 = 42, qui est un multiple de trois. On termine presque toujours la prise d'une grille par la prise d'un polygone convexe, qu'il va donc falloir choisir en l'occurrence avec un nombre de cases lui aussi multiple de trois... en d'autres termes il s'agira d'un hexagone. Mais si nous venons de déterminer que le dernier coup de la partie devra être joué sur un hexagone, nous savons aussi et depuis bien longtemps, que l'avant-dernier coup, lui, devra comme presque toujours être joué sur un pentagone -- ayant avec l'hexagone final un certain nombre de cases en commun, certain nombre qui est presque toujours égal à deux: sur les cinq cases de ce pentagone, trois seront prises (en jaune) à l'avant-dernier coup de la partie, les deux autres, non prises à l'avant-dernier coup, seront celles qui appartiennent aussi à l'hexagone final et elles seront prises au tout dernier coup, en même temps que l'ensemble de l'hexagone. Tout ça pour dire que nous cherchons donc sur la grille un hexagone marié à un pentagone.

Des couples hexagone et pentagone, il y en a à ne savoir qu'en faire sur cette grille. Par exemple, les cases 0,1,2,3,4,9,10,16,11. Ou 1,0,9,14,2,10,16,15,22. Ou 28,29,30,31,32,36,37,38,39. Ou encore 18,26,20,27,24,33,25,34,35. Ou encore, ou encore, ou encore... on a vraiment l'embarras du choix.

Eh bien, choisissons tant qu'à faire un couple hexagone-pentagone permettant de dessiner facilement un cavexe (un ensemble de cases encerclant le tore, et sur lequel nous fantasmerons une fin de partie optimale).

Un choix me paraît s'imposer:



... d'une part en raison de son extrême concision (il suffira des trois derniers coups de la partie pour prendre intégralement cet ensemble), d'autre part du fait qu'étant collé contre un des bords de la grille, il est particulièrement facile à photographier mentalement.

Donc, y a plus qu'à. Voilà voilà voilà, quand je vous disais que nous avions affaire à une résolution ultra-classique.

Qui n'a pas suivi?

Mais levez la main, pétard, je ne vais pas vous manger!

Bon. Voici donc l'heure de la correction pour la grille "lundi". Avec le cavexe très concis que je vous ai recommandé, ça pourrait donner par exemple: 5 25 41 32 18 11 30 38 1 16 29 9 (hors du cavexe), 43 7 12 (dedans). Vous noterez une façon de faire que j'affectionne, mais qui n'est pas la seule envisageable: partir d'un creux du cavexe pour aller vers un bord de la grille (c'est pratique quand, comme moi, on a du mal à garder longtemps la mémoire photographique du cavexe préconisé).

Quelques autres cavexes étaient envisageables, notamment:



Je vous laisse les dessiner tous seuls: ce n'est vraiment pas difficile, et en plus ça vous entraîne.

Tous ces cavexes étant exploitables, vous pouvez chercher à vous en inspirer pour aboutir à des solutions intégrales tous seuls comme des grands, mais si vous coincez quelque part vous pouvez aussi voir dans le spoiler qui suit comment mon solveur s'en est sorti; si vous avez parfois l'impression que sa stratégie est bizarre et sans fil conducteur, ce n'est pas une impression, c'est comme ça que bosse la sotte mécanique d'un solveur; n'hésitez pas à faire plus élégant!

Solutions complètes:

Demain, pour changer, je crois que nous parlerons philosophie des mathématiques.

Comme je vais être absent tout le week-end (lundi compris), je vais vous demander d'alimenter ce fil tous seuls comme des grands. Histoire de changer un peu (et de vous faire un peu ouvrir le bec, bande de zèbres mutiques) ce ne sera pas pour résoudre des grilles mais pour parler un peu philosophie des mathématiques, par exemple sur la base d'éléments que nous avons étudiés ici mais vous pouvez parfaitement en employer d'autres. Cette discussion du week-end sera un prolongement de ce qui a déjà été dit dans le salon "discussions rationnelles" sur l'existence des objets mathématiques (je vous invite à y rejeter un oeil).

Eléments du débat: depuis l'Antiquité, matheux et philosophes (qui n'ont pas toujours appartenu à des tribus différentes) discutent pour essayer de déterminer si les objets mathématiques 1) existent de toute éternité et sont seulement découverts par les hommes; 2) sont des inventions humaines et ne peuvent donc exister avant eux ni même sans eux. La première thèse est la plus répandue depuis Platon, mais la deuxième lui résiste bien et même a fait un énorme retour en force tellement les mathématiciens modernes ont des idées tordues.

Moi-même, j'ai des idées tordues, comme celle du jeu dont que je vous cause sur ce fil. Deux petites images déjà publiées sur ce fil peuvent alimenter le débat. En voici une qui paraît représenter une créature mathématique en diable, bonne candidate pour prétendre qu'elle existe dans le monde merveilleux de la logique de toute éternité:



Et en voici une autre qui est assurément une création humaine, puisque je l'ai faite avec mon petit cerveau, ma petite souris et mon petit ordi, il y a quelques jours seulement, juste pour alimenter la discussion sur ce fil:



Question à cent sous: ces deux créatures mathématiques sont-elles de natures différentes? Si oui, en quoi?

Je continue d'alimenter votre perplexité en même temps que la mienne. Toutes les grilles sur lesquelles je vous fais gamberger sont produites, non par un cerveau humain directement, mais par un algorithme lui-même sorti d'un cerveau humain. Ces objets mathématiques sont-ils des inventions ou des découvertes? Ne répondez pas trop vite, attendez la suite...

Quand je résous une de ces grilles avec mon petit cerveau, j'ai quand même un peu le droit de considérer que ma solution est une invention humaine, je veux mon neveu: ça a grésillé dans mes neurones au point de me cramer le cuir chevelu. Mais à côté de ma solution, qui est une invention humaine, je peux vous en montrer vingt qui sont, elles, trouvées par mon solveur. Ces solutions informatiques sont-elles des inventions ou des découvertes?

Et vous savez en plus qu'il arrive que le solveur et moi nous trouvions à peu près les mêmes solutions, et en tout cas les mêmes cavexes?

Si dans quinze milliards d'années un matheux extraterrestre de la planète Zorglub entreprend de faire l'inventaire de toutes les solutions possibles avec un solveur de sa composition, il sera très susceptible de trouver les mêmes solutions que mon solveur quinze milliards d'années avant. Est-ce à dire que ces solutions existent de toute éternité?

Sur des grilles qui n'existent pas de toute éternité?

Vous, je sais pas, mais moi mon cerveau disjoncte.

Oui, il va falloir que j'y aille faire un tour dans ton sujet sur l'existence des objets mathématiques. Je me suis inscrit sur le salon des discussions rationnelles exprès pour ça. Mais, comme tu y as fait intervenir mon directeur de thèse, il va falloir que j'étudie un peu son article.

Bon, en gros, je dirais que les phénomènes se présentent à nos sens et que les modèles qu'on leur donne (ou d'autres structures) sont conçues en notre esprit. Pour les premiers on parlera d'existence, pour les seconds on emploiera plutôt le verbe être en son sens de copule, c'est-à-dire de relation. Ce n'est pas satisfaisant pour moi, parce qu'il faudrait introduire un troisième terme pour l'existence personnelle, relativement à laquelle on parle aussi de son être ou de son essence.

En bref, la douleur existe et le nombre n'existe pas mais il est... en relation avec d'autres concepts mathématiques. Le problème, c'est que le nombre existe aussi en tant que trace neuronale dans notre cerveau (et que par ailleurs la douleur est aussi représentée en nous sous la forme de telles traces, aussi qu'on peut en former un modèle). Mais, si l'on pousse les choses à l'extrême, en nous se présentent des sensations et des idées comme s'il y avait deux types de réalité, qu'on appréhendera respectivement selon nos perceptions externes et internes.

Autant il est difficile de récuser la réalité des sensations, autant il est facile d'oublier qu'en permanence nous formons des pensées et qu'elles nous sont nécessaires quoi qu'on fasse. C'est pour moi la source de la récusation des idées pures : on ne les sens pas de la même manière que l'on touche la matière. Aussi on fait son Saint Thomas. Pourquoi au contraire les mathématiciens sont-ils souvent convaincus par une sorte de réalité des structures qu'ils élaborent ? Je me demande si, à la façon de ce qui nous vient ordinairement des sens, ce ne serait pas parce qu'ils éprouvent davantage le contentement de construire ou la déception de ne pas y parvenir.

Bon, alors, pour tes grilles, sont-elles de nature différente ?

Déjà, tu ne les définis pas. Un dessin, ce n'est pas suffisant pour cela. Tu me diras qu'implicitement il y a des points et des segments qui les relient, et que c'est cela qu'il faut comprendre. D'accord.

Pourtant, tout dépend comment on interprète tes grilles. Si on prend en compte la position exacte des sommets, il est clair que les grilles sont différentes. Mais s'agit-il de leur nature (qu'il me faut comprendre comme leur essence mathématique) ? D'après ce que je connais de tes grilles, ce n'est pas ce qui importe essentiellement. Ce sont des graphes, dont les sommets sont marqués deux fois sur les bords (voire quatre pour les coins) et des arêtes qui les relient, de longueur arbitraire (sinon selon les considérations pratiques que tu as indiquées).
Mais, même comme ça, tes grilles sont toujours de nature différente, ne serait-ce que parce que la répartition des arités des sommets est différente : 6 pour la première, 4, 5, 6 et 8 pour la seconde.

Maintenant, tu aurais pu faire plus compliqué : deux grilles avec une répartition semblable des arités mais différentes malgré tout.

Pieyre a écrit:Pour les premiers on parlera d'existence, pour les seconds on emploiera plutôt le verbe être en son sens de copule, c'est-à-dire de relation. Ce n'est pas satisfaisant pour moi

Pour moi non plus. Bien sûr, on peut toujours s'astreindre à employer tel mot dans un cas, tel mot dans un autre -- mais c'est tellement facile que ça peut aussi être fait avec une mauvaise foi entière. "Thérèse n'est pas moche, elle n'a pas un physique facile, c'est différent." Ou encore, quand Brejnev met des caméras dans les couloirs d'un hôtel, c'est de la vidéosurveillance, mais quand Patrick Balkany en met dans les rues de Levallois-Perret, c'est de la vidéoprotection.

Ma question n'est pas: "peut-on s'astreindre à employer des mots différents", mais "quels arguments avons-nous pour dire que les deux bazars sont de nature différente?"

parce qu'il faudrait introduire un troisième terme pour l'existence personnelle, relativement à laquelle on parle aussi de son être ou de son essence.

Faut-il dire "je pense, donc je suis", ou "je pense, donc j'existe"? Descartes a choisi la première façon de dire, et pas par hasard: il postulait l'immortalité de l'âme.

Pourquoi au contraire les mathématiciens sont-ils souvent convaincus par une sorte de réalité des structures qu'ils élaborent ? Je me demande si, à la façon de ce qui nous vient ordinairement des sens, ce ne serait pas parce qu'ils éprouvent davantage le contentement de construire ou la déception de ne pas y parvenir.

Idée intéressante. Mais je ne pense pas que ce soit le noeud du problème.

Si on prend en compte la position exacte des sommets, il est clair que les grilles sont différentes.

Je le sais bien. Ce que je demande, c'est si elles sont de natures différentes. Saddam Hussein est différent de Marilyn Monroe, mais les deux sont de même nature (des êtres humains) -- tandis qu'il y a une différence de nature entre Saddam Hussein, qui est un être de chair et de sang, et une photo de Saddam Hussein, qui est un bout de bristol imprégné de sels argentiques, même si dans les deux cas on peut voir une moustache taillée de la même façon.

même comme ça, tes grilles sont toujours de nature différente, ne serait-ce que parce que la répartition des arités des sommets est différente : 6 pour la première, 4, 5, 6 et 8 pour la seconde.

Les nombres 9999 et 8192 sont-ils de nature différente? Il me semble qu'on peut aussi facilement trouver des arguments pour répondre oui que non.

Et qu'est-ce qu'on en a à fiche, me direz-vous? C'est peut-être ça la vraie question, en fait.

Mais ça ne veut pas dire que la réponse est simple, ni inintéressante.

Enfin bref. J'en ai fini avec les grilles censées être simples de mon échantillonnage, voici donc la première grille censée être de difficulté moyenne: la grille "mars". Je rappelle à nos chers auditeurs que le jeu consiste à cliquer de façon judicieuse sur les cases triangulaires afin de déclencher des réactions en chaîne prenant trois cases simultanément, ce qui aura pour conséquence de colorer ces cases en jaune. C'est celui d'entre vous qui trouvera le premier une façon d'atteindre le maximum possible de cases jaunes qui gagnera ce magnifique panier garni offert par notre sponsor, la charcuterie Dumoutiers du Tremblay-lès-Gonnesse, quand je pense charcutier je vais chez Dumoutiers.



Eh bien, Simone, vous qui nous parlez de Cajars, petite ville de l'Aveyron, avez-vous avec vous un sympathique candidat qui soit disposé à monter à la tribune pour nous proposer une stratégie?

Bon, visiblement, les Agnan ne se bousculent pas pour venir fayoter au tableau noir. Ce ne serait pourtant pas très difficile d'attaquer au moins la résolution du problème, il vous suffirait d'adapter un peu scolairement la méthode de "construction de cavexe" que je vous ai déjà montrée plusieurs fois au cours des récents épisodes de ce feuilleton.

Je vais émettre l'hypothèse que vous vous trouvez un peu dans l'état d'esprit où j'étais très souvent, moi, dans mes cours de maths, quand on me demandait d'appliquer mécaniquement un truc que j'étais censé savoir mais n'avais pas vraiment compris: comme je n'avais pas bien compris d'où ça venait, je voyais encore moins où ça pouvait m'emmener. Je savais certes par coeur, par exemple, que a2-b2 = (a-b) * (a+b), mais c'était du par coeur, je n'avais pas vraiment pigé que ce n'était pas "a2" mais "a au carré", et si on me mettait sous le nez un exemple pédagogique aussi scolaire que possible, je n'avais jamais l'idée de l'attaquer avec la méthode préconisée par le prof, ça me paraissait horriblement artificiel. Si on me demandait combien faisaient (3-2) * (3+2), jamais jamais jamais il ne me serait venu à  l'idée de faire un truc aussi absurde que de soustraire 4 de 9 sous prétexte que 4 c'est 2 au carré et 9 c'est 3 au carré -- je trouvais vraiment que c'était chercher midi à quatorze heures et que (3 - 2) * (3 + 2), ben ça fait (1) * (5) c'est-à-dire 5, voilà. "Mais tu ne vois donc pas, bougre d'andouille, qu'il y a là une identité remarquable?" Ben non. Tout ce que je voyais, moi, c'était de la branlette intellectuelle, une volonté totalement perverse d'employer des moyens compliqués pour aboutir à des résultats simples.

Donc, plutôt que de radoter ce que je vous ai déjà dit un paquet de fois, je vais essayer de vous le présenter autrement... Stay tuned.

Mes efforts pédagogiques vont prochainement porter sur les notions de concave et convexe sur un tore. Ça me paraît, à moi qui gamberge sur ces questions depuis des années, assez simple, mais peut-être pas au point qu'il soit prudent de considérer ces notions comme comprises par le premier venu avant même de lui avoir montré un ou deux schémas explicatifs... que je n'ai pas encore publiés ici ni même concoctés. J'y travaille, je pensais en venir à bout en cinq minutes, et puis en fait je me rends compte que j'aurais avantage à fignoler. Ça va donc me prendre un certain temps, trop longtemps pour qu'il soit prudent de faire traîner le suspense quant à la résolution de la grille "mars" que j'ai soumise ce matin à votre sagacité. Donc, en deux mots et trois schémas...

Voici les cavexes que je préconise (félicitations à ceux d'entre vous qui ont compris seuls qu'il fallait se débrouiller pour terminer la résolution de cette grille sur un heptagone):



Et je vous mets en spoiler les solutions complètes élaborées à partir de ces cavexes:

Solutions complètes:

A bientôt... Mais entre-temps, vos éventuelles remarques ou questions sont bienvenues.

Restons sur la grille "mars", mais avec l'affichage simplifié (sans numéros, et avec la seule couleur jaune pour remplir toutes les cases).



A gauche, vous voyez une situation que j'appelle concave, c'est-à-dire que la grille, déjà remplie au moins aux deux tiers, a l'air d'un morceau de gruyère jaune avec un trou (une cavité) dedans. Au contraire, à droite, la forme jaune peut être qualifiée de convexe, c'est-à-dire qu'elle ressemble à une petite patate jaune, rondouillarde, au milieu d'une grille vide.

Il est clair que l'image de gauche est le parfait inverse de l'image de droite.

Donc, merci de retenir: si ça ressemble à une petite patate, c'est convexe; si ça ressemble à un bout de gruyère avec un trou dedans, c'est concave.

Bon. Poursuivons avec un exemple à peine différent:



C'est kif-kif, l'image de gauche est toujours l'inverse parfait de l'image de droite. Maintenant, attention attention attention, je vais rajouter une case jaune à la figure de gauche, une, une seule, qui va donc pénétrer comme une pointe dans le trou noir:



Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi je ne peux pas dessiner (en cliquant sur la grille) l'inverse concave exact de cette figure convexe? Essayez, vous verrez que c'est impossible.

Même topo si je rajoute une pointe à la patate de la figure de droite:



Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi il est impossible, en cliquant sur la grille, de dessiner l'inverse concave de cette figure convexe?

A vrai dire, ça devrait être totalement évident pour ceux qui ont bien suivi les épisodes précédents. Mais pour ceux qui prennent le feuilleton en route -- et que je soupçonne de constituer l'essentiel de mon lectorat --, il peut être pédagogiquement intéressant de comprendre empiriquement pourquoi ces défis que je vous lance sont irréalisables.

Et bien sûr, je ne vous montre pas ça pour vous traiter de débiles mentaux, mais parce que tant qu'on n'a pas des idées parfaitement claires sur ces questions, on n'a pas la moindre chance de comprendre comment résoudre une grille, ni même en quoi consiste le défi représenté par une grille quelconque...

Eh bien la réponse à ces questions est tout simplement que la règle du jeu (ou les automatismes informatiques qui gèrent vos clics sur la grille "mars") imposent que dès qu'une case touche par deux de ses trois côtés deux cases déjà colorées, hop, elle devient elle-même colorée. Donc, quand on cherche à dessiner l'inverse des deux dernières images que j'ai publiées ici, la case jaune pointue qui sort de la masse jaune -- et qui touche par ses côtés deux voisins noirs -- devrait devenir une case noire qui toucherait par ses côtés deux voisins jaunes. Und das ist unmöglich: la règle imposerait qu'elle soit jaune elle-même.

Est-ce plus clair si je résume tout ça en vous disant que le tenon d'une figure convexe ne peut pas se transformer en mortaise d'une figure concave inverse?

Non, je ne suis pas sûr que ce soit plus clair. Tant pis, j'aurai quand même essayé de vous l'exprimer d'une autre façon que précédemment...

Tout ça pour vous dire que les "cavexes" que je vous conseille très vivement de dessiner avant d'attaquer la résolution d'une grille se doivent de représenter des formes aux contours "inversibles", comme sur les deux images du début du post précédent. En dessinant le cavexe, vous lui donnez une forme patatoïde qui le fait ressembler à une forme convexe -- mais quand vous résoudrez vraiment la grille, vous chercherez à redessiner cette même forme en l'entourant de cases pleines -- et ça vous donnera une figure plutôt concave.

Cela dit, et c'est pour ça que j'appelle ça un "cavexe" (ni concave ni convexe), un cavexe digne de ce nom entoure le tore et n'est donc à strictement parler ni concave ni convexe. Il est juste entre les deux, il tient le milieu entre le début de la partie (où on fait grossir une forme convexe) et la fin de la partie (où on fait se réduire le trou dans la forme concave)... donc c'est le moment psychologique fatidique dans la stratégie de résolution de la grille.

Je sais, c'est pas simple, vous avez probablement même le sentiment après avoir lu ces développements que c'est encore moins clair qu'avant. Ca ne fait rien: réfléchissez à tout ça, laissez ces idées se décanter, rêvez-en la nuit s'il le faut, vous verrez que vos petits neurones de surdoués finiront par s'orienter là-dedans.

Ou alors, c'est que c'est vraiment trop fort pour vous et que vous n'êtes même pas dignes de lire ce fil.

Je vous recommande de dessiner des cavexes bien rondouillards, patatoïdes, parce qu'ainsi ces formes sont inversibles: la même séquence de coups qui vous sert à les dessiner (à partir du polygone convexe sur lequel vous pensez pouvoir terminer la résolution de la grille) pourra aussi être employée, à l'envers, quand vous voudrez résoudre intégralement la grille, depuis la grille toute vide et noire jusqu'à la grille entièrement remplie avec le maximum de cases jaunes.

Cela dit, il n'est pas dans la nature du cavexe -- défini comme la situation fatidique où la forme dessinée par les cases remplies n'est ni concave ni convexe -- d'avoir des contours rondouillards. Quand je demande à mon solveur de résoudre une grille quelconque, lui aussi, bien sûr, passe par ce moment fatidique, lui aussi dessine un cavexe. Ce dernier est assez souvent rondouillard pour que j'aie fini par en conclure qu'on pouvait faire de l'élaboration d'un cavexe rondouillard une méthode de résolution -- efficace sur la plupart des grilles. Mais dans pas mal d'autres cas, le solveur dessine des cavexes bizarroïdes, avec un ou même plusieurs triangles-tenons qui sortent de la forme concave avec des cases vides sur deux de leurs côtés. Il n'est bien sûr pas du tout interdit de résoudre une grille en employant de telles formes; simplement, je crois que c'est extrêmement difficile pour un humain de les élaborer, tandis que c'est relativement facile avec une forme rondouillarde.

Pour vous donner une idée, voici quelques cavexes biscornus dessinés par mon solveur, toujours sur la grille "mars".



A moins que vous soyez beaucoup plus imaginatifs et ingénieux que moi (ce qui n'est nullement interdit   ), je ne pense pas que vous auriez pu les imaginer seuls (c'est mon solveur informatique, et non mon cerveau, qui a imaginé ces solutions). En revanche, vous devriez réussir sans grande peine à atteindre à partir de ces cavexes le score maximal de cases jaunes. Je vous invite à le faire à titre d'entraînement. Voici donc ci-dessous, en clair, six séquences de coups pour dessiner ces cavexes, suivies, en spoiler, des six solutions complètes.

Séquence de coups pour dessiner le cavexe à mortaise 0: 4 6 36 40 37 24 26 35 20 22.

solution complète:

Séquence de coups pour dessiner le cavexe à mortaise 1: 7 23 15 30 18 20 11 6 3 1.

solution complète:

Séquence de coups pour dessiner le cavexe à mortaise 2: 0 38 41 40 32 25 5 10.

solution complète:

Séquence de coups pour dessiner le cavexe à mortaise 3: 36 11 6 13 2 19 21 30 35.

solution complète:

Séquence de coups pour dessiner le cavexe à mortaise 4: 2 36 7 34 5 30 21 29 8.

solution complète:

Séquence de coups pour dessiner le cavexe à mortaise 5: 12 21 7 0 31 23 8 3.

solution complète:

Il m'est arrivé hier un incident sans importance qui m'a quand même passablement préoccupé. J'étais dans un restaurant pas très fréquenté avec un ami, et nous discutions sur le ton normal de deux personnes qui discutent à table: pas fort, mais pas en chuchotant -- et comme lui comme moi sommes capables de nous intéresser à ce que nous disons, nous avions une conversation animée. Sans nous en rendre compte, nous avons importuné des gens qui déjeunaient à une table voisine -- probablement, entre autres, en exprimant de façon un peu virulente le peu d'estime que nous inspirent certaines opinions politiques qui devaient être celles de ces braves gens. Mais il se trouve qu'au moment où nos voisins exaspérés nous ont plus ou moins intimé l'ordre de nous taire ou de foutre le camp (à leur décharge, ils avaient visiblement attendu que nous ayons fini notre café, et ont explosé en constatant que nous avions l'intention de continuer à discuter après avoir terminé le repas), le sujet dont nous discutions ne me paraissait pas prêter à polémique -- vu qu'il s'agissait, précisément, de mon jeujeu de triangles (je suis un peu monomaniaque, peut-être l'avez-vous déjà noté).

Je comprends très bien que la plupart des gens n'en aient rien à cirer des réactions en chaîne dans un réseau de triangles torique. Je comprends même, quoique ça ait tendance à me désoler, que certains, comme vous, hypocrites lecteurs mes semblables mes frères, me lisent sans jamais réagir à ce que je dis. Mais c'est la première fois que j'ai eu le sentiment de me faire détester parce que je m'intéresse à des trucs prise de tête au lieu de ne tout simplement pas moufter comme le pékin lambda...

Ah la la, le zèbre, cet inadapté social, la haine de l'intelligence, et toutes ces sortes de choses.  

Du coup, me sentant assez déconcerté, j'ai besoin de reprendre mes esprits, et donc je reprends le fil de ma passionnante saga là où je l'avais laissé, de façon totalement scolaire. La grille du jour sera la grille "avril", une belle grille composée de cinq rangées horizontales disposées presque comme à la parade.



Un volontaire pour me dessiner un cavexe, ou au moins me choisir un polygone final?

Ou juste pour dire un petit mot en passant pour que je me sente moins seul et mal-aimé?

On nous écrit de Carpentras:

Jean-Pierre Liégeois, lecteur de Carpentras a écrit:Cher maître, je ne voudrais pas vous paraître narquois, mais je pense qu'il y a une faille dans votre enseignement.

Ah boooon?

Jean-Pierre Liégeois a écrit:Parce que ce que vous vous attendez à ce qu'on vous dise, sur votre grille "avril" à la noix, là, c'est qu'il faut terminer sur un heptagone marié à un pentagone, pas vrai?

En effet, cette réponse m'aurait comblé d'aise... La grille "avril" ayant 36 cases, et vu qu'il faut presque toujours sacrifier deux cases au départ...

Jean-Pierre Liégeois a écrit:... il restera 34 cases, et 34 étant égal à un multiple de 3 majoré de 1, il va falloir terminer sur un multiple de 3 majoré de 1 -- qui ne peut guère être qu'un heptagone.

C'est cela.

Jean-Pierre Liégeois a écrit:Seulement, je vous le demande, cher maître, qu'est-ce qui m'empêche, au lieu de sacrifier deux cases au début pour terminer sur un heptagone, d'en sacrifier plutôt trois pour terminer sur un hexagone?

Je sais bien que l'arithmétique n'est pas votre fort, mais enfin, 2 + 7, chez moi, c'est égal à 3 + 6, donc j'aboutirais au même optimum de cases jaunes, à savoir 36 cases dans la grille, moins 9 = 27 = 3 x 9, neuf coups gagnants colorant 27 cases en jaune. Non?

Cela paraît concevable, mon petit, mais cela ne te dispenserait point de dessiner un cavexe.

Jean-Pierre Liégeois a écrit:No problemo, baby. Je choisis pour hexagone final les cases 4, 5, 6, 33, 34, 35. Je jouerai l'avant-dernier coup dans le pentagone marié à cet hexagone en prenant, en jaune, les cases 3, 31 et 32, et les cases 29, 22 et 30 achèveront de constituer un excellent cavexe... avec dedans un hexagone bleu au lieu d'un heptagone.

Tu es révolté mais ton coeur est pur et ton esprit vif, mon enfant. Sauras-tu pousser ta réflexion jusqu'à la résolution complète de la grille?

Jean-Pierre Liégeois a écrit:Mais on est bien d'accord, en sacrifiant trois cases au début?

Je ne t'en ferai pas le reproche.

Jean-Pierre Liégeois a écrit:Alors numérote tes abattis, pépé, la voici ma solution et je t'assure qu'elle décoiffe: 7 0 11 (trois cases sacrifiées), 2 8 20 17 15 27 24 (hors du cavexe), 22 31 34 (dedans). Et j'ai bien joué neuf coups gagnants, donc j'ai bel et bien atteint l'optimum, nananère.

Alors, vieux, on fait moins le malin, hein?

Ptikon, va.

Eh bien oui, Jean-Pierre Liégeois a raison, on peut atteindre le même optimum (ou maximum) de cases jaunes en sacrifiant trois cases au départ pour terminer sur un hexagone, plutôt qu'en sacrifiant deux cases au départ pour terminer sur un heptagone. Cela étant, ça n'est généralement pas plus simple, et personnellement je trouve ça moins élégant -- je serais bien en peine d'expliquer pourquoi -- de sorte que je ne recherche pas de telles solutions avant d'avoir perdu tout espoir d'en trouver de plus classiques.

Quand deux solutions permettent d'aboutir au même optimum, pourquoi soutenir que certaines sont plus esthétiques, plus élégantes, que d'autres? Je ne sais pas, mais intuitivement, par exemple, j'aurais tendance à soutenir que pour résoudre la grille "avril" qui nous occupe depuis ce matin, il y a bien des solutions plus élégantes que d'autres -- et qui ne ressemblent pas à celles de Jean-Pierre Liégeois. Je m'empresse d'ajouter que je trouve ces solutions plus esthétiques alors que je n'en ai pas eu l'idée moi-même, et qu'une fois de plus c'est mon fichu solveur qui m'a signalé leur possibilité.

Sur la grille "avril", il faudrait classiquement sacrifier deux cases au départ et terminer sur un ensemble de sept cases. Eh bien, si vous regardez bien, vous vous rendrez compte que cet ensemble de sept cases n'est pas nécessairement un heptagone, que ce pourrait aussi être un couloir de sept cases: par exemple, les cases 8, 9, 10, 11, 12, 16, 13, ou 17, 14, 18, 15, 19, 20, 21. Ce n'est pas forcément plus facile qu'avec un cavexe rondouillard... mais je trouve ça plus satisfaisant pour l'esprit, allez savoir pourquoi.

Il est rare que les couloirs de cases qui traversent une grille Triancey comportent moins de huit cellules (raison pour laquelle je n'avais pas songé à cette possibilité). C'est peut-être pour cela que j'aime mieux ces solutions: elles tirent parti d'une circonstance rare. Mais elles mènent au même score.

Je ne vous indique pas ces solutions tout de suite: les savoir possibles vous incitera peut-être à vous creuser la tête pour les trouver (or faire carburer votre cerveau à vous est ma seule ambition, légèrement sadique sans doute, mais c'est pour la bonne cause).

Bon, je vais quand même donner la vedette au cavexe sorti de mon cerveau, même si je ne trouve pas qu'il constitue la solution la plus élégante:



Et voici six autres cavexes trouvés, cette fois, par les automatismes informatiques de mon solveur. Je préfère les deux premiers, qui prennent des couloirs de sept cases, ce sont à mon sens les plus élégants. Mais les deux suivants sont quand même remarquablement concis, et c'est ce genre de formes que l'esprit d'un joueur humain doit se glorifier de réussir à identifier (comme vous le voyez, aujourd'hui je n'y suis pas parvenu: faites ce que je dis, ne faites pas ce que je fais!).



En revanche, le dernier cavexe, très massif, n'aurait pas retenu mon attention: sauf exceptions, je pense qu'il est préférable de s'astreindre à mettre sensiblement moins de la moitié des cases dans le cavexe. Mais ça n'empêche pas qu'on peut atteindre l'optimum de cases jaunes sur la base de ce cavexe comme sur sur celle des autres.

Et voici les solutions complètes, sous spoiler comme d'habitude:

Solutions complètes:

Peut-être pas à demain, car je dois prendre un train relativement tôt... A dimanche, plutôt.

Le problème du jour est la résolution de la grille "juin":



J'ai perdu l'espoir de vous faire réagir, chers lecteurs, -- et  pourtant, le compteur de Zebras Crossing indique que vous n'êtes pas inexistants --, donc je vais monologuer sans scrupules.

Ca ne saute pas aux yeux, mais cette grille n'est pas tout à fait banale en ce sens que la densité des cases, au lieu d'être uniforme comme presque toujours, est nettement plus élevée dans le coin supérieur gauche que dans son opposé. Mais ça ne change rigoureusement rien aux principes de résolution.

Il y a quarante cases. Si, fort classiquement, on en sacrifie deux pour initier les coups gagnants (qui prennent les cases trois par trois et les colorent en jaune), il en restera donc trente-huit, qui est un multiple de trois minoré de un. Ergo, il faut terminer sur un polygone convexe dont le nombre de cases soit lui-même un multiple de trois minoré de un, par exemple un pentagone. L'avant-dernier coup d'une partie à score optimal "classique" étant toujours joué, lui aussi, sur un pentagone, nous sommes donc à la recherche d'un couple de pentagones (ayant deux cases en commun comme à peu près tous les polygones convexes mariés de toutes les grilles).

Un couple de ce type n'existe qu'en un seul endroit de la figure. Je ne vous dirai pas tout de suite où, parce que si vous ne le cherchez pas vous-mêmes vous n'acquerrez jamais l'entraînement nécessaire pour devenir champions de mon casse--tête... donc, cherchez bien.

oùkilèti le couple de pentagones?:

Saurez-vous dessiner un cavexe sur la base de ce couple de pentagones? A vrai dire, ce n'est pas bien malin, mais la première idée qui vous viendra ne sera pas nécessairement la bonne -- c'est-à-dire celle qui pourrait vous permettre de remplir la grille avec le maximum de cases jaunes (33, correspondant à 11 coups gagnants).