Énigme des 23 prisonniers

Bonsoir,
Pour ceux qui aiment vraiment se triturer les méninges, voici une énigme logique (aucune arnaque, que du raisonnement) que j'ai eu grand plaisir à résoudre il y a fort longtemps par une belle soirée d'été.
Si elle est déjà passé sur ce forum, je retirerai mon sujet mais a priori je ne la trouve pas.

Énoncé :
23 prisonniers arrivent dans une prison nouvellement construite.
Le gardien les réunit dans la cour et leur dit :
"Je vous laisse tout aujourd'hui libre de discuter entre vous mais à partir de demain vous serez chacun dans une cellule séparée et isolée sans plus aucunes possibilités de communiquer/voir/entendre etc.
Sachez que dans le bureau du directeur, il y a sur la table deux interrupteurs "A" et "B".
Personne ne sait actuellement si "A" est sur On ou Off. Pareil pour "B".
De plus, ces interrupteurs ne sont reliés à rien.
A partir de demain, je choisirai au hasard un prisonnier pour l'emmener de force chez le directeur et il devra absolument basculer un interrupteur de son choix (strictement un seul) puis je le reconduirai en prison sans un mot (je suis neutre dans cette histoire).
Régulièrement, après tirage au sort, je mènerai un prisonnier au bureau du directeur pour réaliser la bascule d'un unique interrupteur choisi par le prisonnier lui-même (qui voit donc la position On ou Off des deux interrupteurs).
Le tirage au sort étant fait dans les règles, vous finirez tous forcément par passer au moins une fois.
Il se peut qu'un même prisonnier soit conduit plusieurs fois d'affilée au bureau.

Lorsqu'un d'entre vous aura la certitude que tous les prisonniers sont passés au moins une fois chez le directeur, il pourra me le dire.
S'il a raison, vous serez tous libérés aussitôt.
S'il se trompe, vous serez tous pendus.

Quelle stratégie les 23 prisonniers doivent-ils mettre en place pour sortir libres à coup sûr ?

Rem :
Aucun n'est suicidaire ou criminel ou distrait.
Ils sont intelligents et déterminés à sortir.
Le directeur est neutre.

Interdiction (sous surveillance) de faire quoi que ce soit d'autre que d'appuyer sur l’interrupteur dans le bureau ?

Absolument. C'est une énigme logique saine. Le prisonnier entre, voit les interrupteurs et leur position et décide d'en basculer un. Terminé. Il sort.

L'énigme ne marcherait pas avec plus de prisonnier, je suppose aussi ? Et avec moins ?

Ai-je le droit de te poser ces questions ? Après tout, on est encore le premier jour...

En complément de ce que dis Stegos, du coup, le premier prisonnier appelé, qu'il soit compteur ou pas, passe le premier interrupteur (principal) sur Off s'il ne l'est pas déjà et ne le garde pas dans son compte des deux fois, il appuie sur S sinon (le premier jour est neutre ainsi) et P est en position éteinte.

Et accessoirement j'ai la réponse à mes questions.

Un doute me prend : "Personne ne sait actuellement si "A" est sur On ou Off. Pareil pour "B"."

Personne ne le sait ? Ou même si on le voit, on ne le sait pas ?
Mais en même temps si c'était le cas, il serait impossible de distinguer le On du Off et donc de compter.

Il y a donc nécessairement une position visible, estimable. Faut-il la déterminer ou est-elle naturellement identifiable ? Les prisonniers auront dû s'interroger dessus préalablement, par exemple : "On, c'est quand le bouton descend vers la porte ou le mur à la droite de la porte quand on entre." Y a-t-il une seul porte au bureau au fait ?

Désolé pour les questions connes... ( )

PS : Par contre, s'il y a moyen de faire le neutre le premier jour, un comptage simple à 22 ne suffirait-il pas ?
PPS : On passera sur le fait, que le jeu est parti pour durer un petit moment, et que si un prisonnier décède d'une mort naturelle dans l'intervalle de temps, ils ne sont pas dans la merde.

Un grand bravo à Stegos !

J'ajoute juste que :

Spoiler:

tres sympa cette enigme !

dans la solution de Stegos (clap clap!), il faut que le compteur soit passé 44 fois, ce qui peut prendre du temps.

remarque : on ne connait pas la frequence des passages dans le bureau, ni la durée de peine des prisionniers, il serait bon de l'indiquer pour vérouiller les possibilités (genre une fois toutes les 10min, et peine de prison a vie.) car j'etais parti sur d'autres méthodes a la base qui tenaient compte de la rentabilité temps attendu/duree de la peine a effectuer