"paradoxe" des 2 enveloppes

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"Quelle base", pour être honnète, ça m'évoque surtout un James Bond qui se serait paumé entre le MI6 et le Spectre ^^

Wich a écrit:

Oui, mais c'est jamais ce qui a été dit, il a toujours était écrit que la seconde enveloppe pouvait aussi bien contenir 2X que 1/2X avec une probabilité équivalente.

Moi j'ai toujours soutenu que non, d'où les quiproquo

A mon avis il est là le paradoxe, le caractère équiprobable du contenu 2X et 1/2X de la deuxième enveloppe viens du fait que tu ne connais pas le contenu de la deuxième enveloppe tout en connaissant le contenu de la première.

Il n'y a pas de paradoxe qd tu ne connais le contenu d'aucune enveloppe, il n'y a pas de paradoxe qd tu connais le contenu des deux enveloppes, la couille apparait qd tu prends connaissance de la première sans la deuxième, c'est là qu'apparait une troisième valeur (théorique et non déterminée) qui fausse le calcul.

Je garderai probablement l'enveloppe que j'ai, car cela va activer chez moi le mécanisme psychologique (utilisé en marketing) de la peur de manquer et de perdre quelque chose.

Aussi bizarre que cela puisse l'être.... avoir plus est un moteur puissant en marketing


Il suffit de coller.une.proba de x/2 bien supérieur à 50% a la seconde enveloppe et de promouvoir 2x. C'est juste humain

Spéculer sur de l'argent virtuel..... c'est le monde de la finance... et on voit le bordel que ça cause...

AMHA

Vous m'embrouillez le cerveau, tous !

Le vice, c'est que la découverte du contenu de la première enveloppe n'est pas une vraie information, elle ne permet pas d'élaborer de stratégie sûre.

La découverte de ce contenu n'a d'effet que psychologique : c'est bien l'espoir qui nous fait sortir nos petites calculettes ; en envisageant l'échange, on s'imagine une nouvelle voiture, une nouvelle maison... C'est ici qu'interviennent les calculs de probabilités.
Mais pour le pur logicien, la découverte du contenu de la première enveloppe n'a pas d'effet. Ca peut être 10, 20, ou 100 Euros, on s'en fiche, l'information n'indique aucune stratégie. Et c'est Wich qui avait raison, dans son post d'avant-hier ou d'avant-avant-hier : on est sur du cinquante-cinquante.

J'aurais une question : imaginons que le joueur n'ouvre pas la première enveloppe. Les calculs que vous avez faits (les calculs d'espérance de gain) n'en resteraient-ils pas valables ?

Mon intuition, c'est que oui. Tu gardes l'enveloppe fermée, tu as toujours (toujours !) intérêt à changer. Et donc le jeu est sans fin : tu choisis l'enveloppe A, tu la gardes fermée, et puis finalement tu préfères prendre la B (après avoir effectué tes petits calculs), oh et puis finalement non, je vais reprendre la A (espérance de gain)... Le jeu est sans fin.

-- message de service --

Avant de traiter de cas plus compliqués merci d'avoir une position claire sur le cas suivant   :
Sous problème 1 : CAS_DE_BASE
Le fournisseur d'enveloppes ne peut mettre dans les enveloppes que valeurs suivantes : 2, 4 , 8 ou 16 euros. Et il en choisit deux consécutives (double et moitié l'une de l'autre) de façon équiprobable en préparation qu'il met dans deux enveloppes qu'il va utiliser pour le jeu qu'il vous propose. Ensuite il vous demande de choisir une enveloppe parmi les deux posées sur la table. Vous ouvrez l'enveloppe que vous choisissez et après avoir pris connaissance de la somme à l'intérieur, vous avez la possibilité de changer et vous devrez alors accepter le contenu de la seconde enveloppe posée sur la table. Quelle est votre stratégie ?

[cet énoncé est différent de l’énoncé initial, mais me semble un prérequis à toute discussion constructive]

Lorsque vous discuter ce cas de base, merci d'indiquer	#cas_de_base en préalable
Sinon indiquez	#cas_général

---

-cas de base-  je change toujours jusqu’à tomber sur l’enveloppe qui contient les 16 euros, vu que c’est la somme maximale.
C’est si simple ou j’ai pas compris la question ?

tu ne peux changer qu'une fois

Ceci n'est pas un tigrou a écrit:tu ne peux changer qu'une fois

Ah bon ? C’est écrit où ?

A lire tous les surdoués certifiés qui s’expriment sur ce fil (je précise que je n’en fais pas partie) on se dit quand même que vous avez une sacrée propension à rendre complexe les choses les plus simples

.

[quote="Archiloque"]

Wich a écrit:

on a plus à gagner qu'à perdre

Reprends le raisonnement au tout début mais plutôt que dire la première enveloppe contient X et la deuxième X/2 ou 2X, dis qu'une des deux enveloppes contient X et l'autre contient X/2 ou 2X, il n'y a pas deux cas possibles, il y en a 4, tous avec la même probabilité :
A contient X, B contient 1/2X
A contient X, B contient 2X
A contient 1/2X, B contient X
A contient 2X, B contient X

Le gain moyen en choisissant une des enveloppes n'est pas de X mais de 4,5/4X. C'est pour cela que le calcul diffère selon que l'on connaît le montant de son enveloppe ouverte ou pas, l'espérance mathématique de X, même si elle est indéfinie est supérieure à X sur un choix neutre (ce qui est totalement abstrait, mais c'est ainsi). Ce 0,5 excédentaire fait la bascule sur l'enveloppe inconnue quand on ouvre l'autre parce que X est maintenant défini et fixé. En maths rien ne doit se perdre.

le fait est que si tu ne connais pas X avant de décider de changer ou pas, tu ne sauras pas si tu as gagné ou perdu si tu n’ouvres pas la seconde non plus. C’est pour ça que je choisis de toujours connaître le montant avant de décider si je la change ou pas puisqu’a moins d’avoir mal compris l’énoncé, j’ai la possibilité d’ouvrir la seconde enveloppe pour savoir si j’ai eu raison ou tord de la changer (sinon, on tourne en rond).  Des lors je sais si j’ai fait le bon choix de changer ou pas la première fois que je joue.
Si je décide de rejouer, La fois d’après, on me remet une nouvelle enveloppe que je décide également s’ouvrir.
Aucune raison pour moi de changer de stratégie, donc je la change.
En quoi le montant de l’enveloppe changerait-elle la probabilité que je gagne ou je perde cette fois-ci. ? A mes yeux, aucune, c’est toujours une chance sur deux, toujours 4 possibilités.
La seule chose qui diffère, c’est que je sais si la fois d’avant, j’ai perdu ou bien j’ai gagné.
Admettons que j’ai gagné (la seconde enveloppe contenait le double de la première) et que la seconde fois j’ai perdu (elle n’en contenait que la moitié), je suis donc dans les statistiques (1 chance sur 2) mais admettons que je fasse cet exercice 100 fois et que j’obtienne 70% de fois de gain et 30% de fois de perte), j’ai statistiquement plus de chance de perte les fois suivantes, la prochaine fois que je vais gagner, je vais me dire que je devrais arrêter car mes probabilités de gagner plus de 70 fois sur cent sont statistiquement faibles.
Le paradoxe, c’est que je ne m’arrêterai de jouer que dès lors que x me semble être un montant suffisant et que  j’ai statistiquement plus de chances de perdre que de gagner si je rejoue.
Mais si je suis prête à m’arrêter à x, alors ça veut dire que je suis aussi prête à renoncer à ce même X puisque la seconde enveloppe contenait peut être 2 fois x.
J’ai peut être gagné un million d’euros mais j’ai aussi peut être perdu 1 million d’euros en m’arrêtant la. En gardant cette somme, j’ai potentiellement perdu la même somme. Paradoxal de se dire qu’on a gagné x tout en se disant qu’on en a peut être perdu tout autant.

J'ai un souci avec ces histoires de 2, 4, 8, 16. Quel est le processus de sélection? Est-ce qu'on choisit d'abord une enveloppe au pif, puis au pif une enveloppe adjacente, ou est-ce qu'on choisit une des trois paires possibles?

dans le premier cas, les cas possibles (de choix par l'organisateur, pas pour le joueur) sont :

2-4
2-4 forçé parce qu'on cherchait à baisser, mais on ne peut pas
4-2
4-8
8-4
8-16
16-8
16-8 forçé parce qu'on cherchait à monter, mais on ne peut pas

et on se retrouve avec 4-8//8-4 moins probable que 2-4/4-2 ou 8-16/16-8

Si on a 2, 100% de l'autre enveloppe est 4, donc on change
Si on a 16, 100% de l'autre enveloppe est 8, donc on garde.
Si on a 4, deux cas sur trois sont 2, et seulement un cas sur trois est 8. L'espérance de gain si on change est de (8+2+2)/3 = 4. Changer ne change rien à l'espérance de gain moyenne. Effectivement, au pif.
Si on a 8, deux cas sur trois de changement sont des 16, et un seul est 4. L'espérance de gain est donc (16+16+4)/3 = 12 si on change, et 8 si on ne change pas. A 8, il faut changer.
-
Mais ça ne vaut que si les enveloppes sont choisies de manière séquentielle par l'organisateur. Si l'organisation choisit une des trois paires possibles 2-4, 4-8, 8-16, alors le raisonnement de My_Illusion s'applique parfaitement.

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RonaldMcDonald a écrit:J'ai un souci avec ces histoires de 2, 4, 8, 16. Quel est le processus de sélection? Est-ce qu'on choisit d'abord une enveloppe au pif, puis au pif une enveloppe adjacente, ou est-ce qu'on choisit une des trois paires possibles?

On considère toutes les paires valides, et on en choisit une à l'équiprobabilité. Une paire n'est valide qui si le contenu de chaque enveloppe est soit le double, soit la moitié de sa co-enveloppe.

attention de respecter cette règle sur ce fil : https://www.zebrascrossing.net/t41930p200-paradoxe-des-2-enveloppes#1823931

@My_I Au temps pour moi, merci

Si je ne peux pas rejouer dès lors que j’ai décidé s’ouvrir la seconde enveloppe, ça change effectivement la donne quoique…

Sachant que des enveloppes contiennent 16 euros, Perso, je change tant que je ne suis pas tombée sur les 16 euros et si je ne l’ai pas trouvée au bout de 15 minutes, je m’arrête. Vu l’enjeu, Ça fait pas cher de l’heure et je ne ramone pas pour de la suie

Archiloque a écrit:Techniquement, si tu as gagné 70% du temps sur 100 tirages, tu n'as pas plus de chance de perdre sur les 100 tirages suivants que quelqu'un qui aurait perdu 70% de ses 100 premiers tirages.

Je t’accorde que j’ai techniquement à chaque fois une chance sur 2. Mais « je me dis » ( croyance parfaitement irrationnelle) que si j’ai eu jusqu’ici beaucoup de chances, il faut pas en abuser non plus et savoir s’arrêter. Choisir, c’est renoncer.

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Archiloque, ton analogie avec les dès ne fonctionne pas, on enlève pas la valeur que tu tires à chaque tirage
Avec les enveloppes dans le cas général c'est ce qui se passe, des probabilité pour le deuxième tirage c'est juste dans les têtes, il n'y a qu'une seule possibilité dans la deuxième enveloppe.
Un calcul d'espérance n'a pas de sens dans ce cas.

@archiloque sur ce point, on est d’accord.
Savoir s’arrêter à temps. Chacun a je pense un montant cible au delà duquel il ne jouera plus. Au final, chacun des joueurs aura gagné l’équivalent de la somme qu’il aura perdue mais il ne le saura jamais puisqu’il se sera arrêté avant de le savoir.
Certains croiront qu’ils ont eu raison et d’autres tort.
Les premiers seront heureux en se disant qu’ils ont fait le bon choix, les autres regretteront leur choix et s’en voudront.
Et le montant n’a rien à voir là dedans, ce n’est aussi qu’ une simple question de croyance.

hors sujet H.A.:

@Charv : la vogue aux noix, à Firminy, le manège sur le pont au dessus de l'autoroute... la vie est courte et il faut être allé une fois au moins dans sa vie à la vogue aux noix.

daurinak a écrit:

RonaldMcDonald a écrit:J'ai un souci avec ces histoires de 2, 4, 8, 16. Quel est le processus de sélection? Est-ce qu'on choisit d'abord une enveloppe au pif, puis au pif une enveloppe adjacente, ou est-ce qu'on choisit une des trois paires possibles?

On considère toutes les paires valides, et on en choisit une à l'équiprobabilité. Une paire n'est valide qui si le contenu de chaque enveloppe est soit le double, soit la moitié de sa co-enveloppe.

Je m'aperçois que même dans ce cas, on a des choses bizarres :

X=2 : on change pour avoir 4
X=4 : changement à 2 et à 8 sont équiprobables, il faut changer, avec une espérance de gain de 5 au lieu de 4
X=8 : changement à 4 et à 16 sont équiprobables, il faut changer, avec une espérance de gain de 10 au lieu de 8
X=16 : on ne change pas.

Mais tout ça présuppose qu'on soit parfaitement au courant de l'ensemble des règles. Et, dans ce cas précis, X=2 et X=16 sont deux fois moins probables que X=4 et X=8 - ils n'appartiennent qu'à une seule paire. On a six cas, au final :
première paire :
(1) X=2, Y=4
(2) X=4, Y=2
deuxième paire :
(3) X=4, Y=8
(4) X=8, Y=4
troisième paire :
(5) X=8, Y=16
(6) X=16, Y=8

Et en fait, c'est bien là qu'intervient le piège. Si on ne connait pas les limites, on peut croire qu'il y a des valeurs au dessus de 16, et se dire que ça vaut le coup de changer à 16. Or, non. C'est là que se niche la différence d'espérance de gain entre ceux qui se disent "si je change , j'ai 25% de plus d'espérance de gain", et "si je change, ça ne change rien".

Au final, sur ce cas avec des limites, l'espérance globale de gain si on change est de zéro. Sur un cas sans limites, on peut toujours espérer un gain. Elle est là, la blague. Dans la vraie vie, il y a toujours une limite, et donc un niveau (que l'on connait ou pas, peu importe) ou on perd tout. Ce qui rééquilibre tous les gains qu'on peut faire à des niveaux inférieurs. Mon calcul du 25% initial était faux à ce niveau : il partait du principe que doubler était toujours possible. Or, non.

Le gain total si on change les 5 premiers est de 8. La perte totale si on change le sixième et dernier est de 8. Changer est la bonne stratégie dans tous les cas - sauf si on est au maximum. Et on ne connait pas le maximum dans le problème initial, contrairement à ce cas avec variante. Donc dans le cas initial, il ne faut pas changer.

C'est le même piège que la grande martingale. Au casino, en théorie, si on double sa mise à chaque échec, on finit par gagner sa mise initiale. Sauf qu'en pratique, il y a toujours une limite de mise possible (ou d'argent disponible à miser), et le jour ou on l'atteint, on a tout perdu. Ce qui fait que les gains globaux sont nuls (voire négatifs dans le cas du casino, ou la proba est légèrement défavorable au joueur). Je m'en veux de ne pas avoir pensé à cette histoire de limites - je la connaissais. C'est l'erreur du code que j'ai posté plus haut : la moitié des valeurs que je calcule ont un montant de changement qui dépasse le maximum. C'est là que se trouvent les 25% en trop.

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Archiloque a écrit:Oui, Ronald, la valeur limite change la donne, mais elle n'était pas indiquée dans l'énoncé initial ; j'ai précisé par ailleurs que si on la connaissait, il ne fallait jamais doubler si X était supérieur à la moitié de cette limite, mais c'était avec cette règle supplémentaire.

Le truc, c'est que même si on ne la connait pas, elle existe quand même. On est dans le monde réel. Pas dans le monde des mathématiques. Donc si on ne la connais pas, on est obligé d'assumer qu'elle existe. Et on se retrouve avec "changer ou pas, c'est pareil". Si on la connait, eh bien oui, il faut la prendre en compte, ce qui donne des stratégies plus complexes.

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Archiloque a écrit:

Wish a écrit:ton analogie avec les dès ne fonctionne pas, on enlève pas la valeur que tu tires à chaque tirage

Et si mon analogie avec un dé fonctionne, quand tu as lancé un dé, son résultat ne peut plus changer. Ce n'est pas parce que tu ne comprends pas quelque chose que cela veut dire que cela fonctionne pas.

On enlève pas la valeur que tu tires du dé...

Prend un dé à deux face genre une pièce, tu tires une fois et tu tombes sur face, si on te propose de retirer, tu peux à nouveau tomber sur face
Imagine que face c'est ton enveloppe 1 et pile ton enveloppe 2 , le coup du tirage fonctionne, tomber sur pile te donne le montant 2, tomber sur face le montant 1, par contre un retirage dans la problématique des enveloppes consiste à tourner la piece, ce n'est pas un retirage et il n'y a qu'une valeur possible.

Il y a quelque chose que je ne comprend pas c'est possible (et visiblement tu ne comprends pas ce que je veux dire non plus) mais tu ne peux pas dire que ça fonctionne vu que c'est un paradoxe et que visiblement ça travail pas mal de monde depuis un bail...

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Parce que tu te poses sur un cas concret alors qu'on est sur une expérience de l'esprit.

Soit.
Quel est ta stratégie dans le cas où tu joues une fois ?

Quel est ta stratégie dans le cas où tu joues n fois ?

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Ok
Est ce que ça a un rapport avec le calcul d’espérance dont on discute depuis 3 jours ?

Archiloque a écrit:Si je joue une fois, je tente l'échange quelque soit le montant (je rappelle qu'on part d'une mise nulle, donc que l'on gagne X/2, X ou 2X, on gagne).

Tu n'as absolument pas besoin de regarder le contenu de l'enveloppe pour appliquer cette stratégie.

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Archiloque a écrit:

daurinak a écrit:

Archiloque a écrit:Si je joue une fois, je tente l'échange quelque soit le montant (je rappelle qu'on part d'une mise nulle, donc que l'on gagne X/2, X ou 2X, on gagne).

Tu n'as absolument pas besoin de regarder le contenu de l'enveloppe pour appliquer cette stratégie.

Bah si, parce qu'alors les cas où je choisis l'autre enveloppe n'ont pas été discriminés et donc les espérances des deux enveloppes sont égales.

Tu affirmes que ta stratégie si tu ne joues qu'une seule fois est de regarder le contenu, puis de toujours changer. J'affirme que c'est équivalent à ne pas regarder le contenu de la première, changer, et repartir avec le contenu de la seconde enveloppe. Naturellement l'information de la valeur de la première enveloppe peut être importante si tu rejoues plus tard, mais là ce n'est pas le cas puisque tu ne joues qu'une fois. Déjà si on est pas d'accord sur cette équivalence entre regarder et ne pas regarder quand on prends toujours la même décision indépendamment de ce qu'on observe, on aura une idée claire de ce sur quoi on est pas d'accord.

Archiloque a écrit:

Wich a écrit:Ok
Est ce que ça a un rapport avec le calcul d’espérance dont on discute depuis 3 jours ?

Oui… Sinon je ne changerais qu'aléatoirement une fois sur deux. Y compris sur un tirage unique (et même si j'ai tort, comme une fois sur deux, parce que ce tort est moins "coûteux" que le gain si j'ai raison).

Pas d'ac :Dans le cas où tu ne joue qu une seule fois sans connaissance des montants moyens des joueurs précédents. Dans ce cas précis et unique dans ce cas tu arrêtes ta croyance ^^ dans les maths et tu deviens croyant et tu prie Luigi Scrosoppi.
Non je n'ai pas de culture mais j'ai une cx internet


Bon courage Archi

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Oui… Sinon je ne changerais qu'aléatoirement une fois sur deux. Y compris sur un tirage unique (et même si j'ai tort, comme une fois sur deux, parce que ce tort est moins "coûteux" que le gain si j'ai raison).

Ouaip... il faudrait voir ça de façon expérimentale...

@Archiloque : c'est quoi l’intérêt de tous ces calculs quand la conclusion est clairement erronée ?  Ou alors ils sont "vrais" dans un univers axiomatique quelconque qui ne touchent que ceux qui y croient, mais alors pourquoi se compliquer la vie, et ne pas juste accepter que c'est inepte ? Dans tous les cas si c'est là qu'est le problème, et que ce que tu calcules n'a aucune application au monde réel, j'aurais envie de te demander d'expliciter ton axiomatique . Ou alors souffre qu'on ne soit pas d'accord pour accepter tes conclusions comme "valides" de façon aveugle. Le calcul des probabilités est initialement parti d'observations réelles, et c'est un outil qui a fait ses preuves lorsqu'il est appliqué correctement.


Encore une fois, c'est vraiment immédiat de comprendre que si tu fais toujours le même choix, tu n'as pas besoin de l'information qui t'a permis de prendre cette non décision.

Prenons un cas concret donc: enveloppe 1: 100€, enveloppe 2: 200€

Premier tirage, j'ai une chance sur deux de tirer 100€ et une chance sur deux de tirer 200€
Deuxième tirage, cas 1 (100€ au premier tirage) je tire 200€, cas deux je tire 100€
conclusion, quelque soit le choix j'ai une chance sur deux d'avoir l'un ou l'autre montant.
On peut dire que l’espérance du jeux est la moyenne des montants mis en jeu.

Je joue à nouveau deux montants (800€ et 1600€ par ex)... rebelote.

J'ai pas beaucoup d’espérances de sortir de cette chausse trappe ceci dit

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Archiloque a écrit:@daurinak : Ce n'est pas parce que tu ne comprends pas quelque chose que c'est erroné. Le truc c'est que tu te bases sur un cas concret pour tirer une conclusion logique générale, ce qui est pour le coup un raisonnement erroné. C'est la logique qui m'intéresse, pas le cas concret, l'argent d'ailleurs ne m'intéresse pas en lui-même. Le paradoxe il existe parce que X, Xa et Xb sont différents, c'est tout.

Je suis désolé mais la logique ce n'est pas une théologie personnelle. C'est une réalité commune. Si au moins tu avais un système est que tu déduisais les choses logiquement. Mais tu appliques des outils dont manifestement tu ne comprends pas le domaine d'application, et tu appelles ça "faire preuve de logique". Non. Prends du recul, et observes que ce que tu dis ne peut pas être valide, pour la raison que je t'ai mis sous le nez 20 fois. Après si cette raison n'est pas applicable, c'est soit que j'ai trop fumé la moquette (bon il faudrait que des intervenants extérieurs viennent me le signaler), soit que tu refuses l'évidence de ton errreur.

Archiloque a écrit:Le sujet a été posté dans la section : j'aime les sciences, si les mathématiques ne vous intéressent pas, pourquoi y participer ? Si le jeu seul vous intéresse pourquoi ne pas avoir posté dans la section jeux ?

En mathématiques la division par 0 n'est pas autorisée, et la somme d'un nombre infini d'entiers ne donne pas -1/12. Ou alors, on explique comment est construite la théorie et comment dans le cadre particulier de cette théorie, l'assertion se vérifie en dépit du bon sens. Tu es dans tes derniers propos manifestement dans l'absurde, mais tu ne fournis aucune autre justification que des calculs qui manifestement sont absurdes dans leur conclusion.

Il faut voir un autre intérêt à changer en cas de multiples tirages, du moins au début : avec le montant des deux enveloppes connues, on peut tirer une répartition logique des montants liés aux limites et à la distribution deux fois plus rapidement.

Là je suis ok

Le sujet a été posté dans la section : j'aime les sciences, si les mathématiques ne vous intéressent pas, pourquoi y participer ? Si le jeu seul vous intéresse pourquoi ne pas avoir posté dans la section jeux ?

Là je ne suis pas d'accord, ça peut être utile de comprendre si les math répondent à un problème particulier ou pas et encore plus utile de comprendre pourquoi.

Je me retire, continuez à faire mumuse.

Qu'est-ce qui n'est pas clair là-dedans ?
J'ai juste ajouté quelques mises à la ligne.

Parisette a écrit:J'ai posé cette question à un ami, prof de math.
Voici ce qu'il m'a répondu.

"En vrai ca dépend de la probabilité d'obtenir 2x dans l'autre enveloppe...

* si on est dans un cas d'équiprobabilité i.e. que j ai 0.5 de proba d'obtenir 2x :
L'espérance de gain est 0.5(0.5x+2x) = 1.25x
or 1.25x > x
donc en moyenne je vais gagner en choisissant l'autre enveloppe du coup je change...

* Pour le cas général, si je note p la proba d'obtenir 2x dans l'autre enveloppe :
L'espérance de gain est alors de 0.5(1 - p)x + 2px = 0.5(1 + 3p)x
cette espérance est plus grande que x si 1 + 3p > 2 i.e p > 1/3.
Donc dès que j'ai plus d'une chance sur 3 d'avoir 2x dans l'autre enveloppe... je change.

Si j'ai aucune idée de la proba d'obtenir 2x dans l'autre enveloppe... je table sur le fait que 1/3 est plus petit qu'1/2 et je change."