Le game

Si l'on multiplie par (a ou b) alors on a bien (a ou b)

D'une manière générale, si a = b (ab^(n - 1) ou a^(n - 1)b) = a^n = b^n donc on retrouve bien la formule des réels

Pour n = - 1 (a/b^2 ou b/a^2)

Si on multiplie par (a ou b) on retrouve bien la puissance 0

L'inverse n'est donc pas égal à la puissance - 1

(a ou b) * (1 / b ou 1 / a) = 1
Et (1 / b ou 1 / a) * (a ou b) = 1

Si l'on définit la division par la multiplication de l'inverse

Avec c et d différents de 0

(a ou b) / (c ou d) = (a ou b) * (1 / d ou 1 / c) = (a / c ou b / d)

Mais si l'on multiplie par l'inverse à gauche à ce moment-là on obtiendra (b / d ou a / c)

Pour l'instant l'on peut émettre l'hypothèse que si la division est l'inverse de la multiplication alors il est logique qu'il y ait deux divisions

L'on peut voir quelle est la relation entre l'inverse et la puissance - 1

(a ou b)^(-1) = (a/b^2 ou b/a^2)
Et inv(a ou b) = (1 / b ou 1 / a)

inv * (b / a ou a / b) = (a ou b)^-1

Voilà bon

Je me suis assoupi

Si l'on étend n aux réels

L'on peut proposer (a ou b)^x = (ab^(x-1) ou a^(x-1)b)

C'est-à-dire exactement la même formule

Je vois juste que ça fait un truc "continu"

Notez que cela ne consiste pas en une exponentielle

Puisque si f(x) = (a ou b)^x alors f(x + y) ≠ f(x) × f(y)

Je l'avais vu précédemment avec (a ou b)^(n + m)
(a ou b)^0 = (a/b ou b/a)
(a ou b)^2 = ab
(a ou b)^2 ≠ (a ou b)^0 * (a ou b)^2 = (a^2 ou b^2)

Donc on ne peut pas additionner les puissances

Sauf la puissance 1 bien sur par définition

(a ou b)^n * (a ou b)^1 = (a ou b)^(n + 1)

Cela parce que la multiplication n'est pas commutative

(a ou b) × (c ou d) ≠ (c ou d) × (a ou b)

On ne peut pas "commuter" (= échanger la place) les deux termes

Tandis que pour les entiers ou réels oui

Par exemple 2 * 3 = 3 * 2 = 6

Ou peut-être que c'est parce qu'elle est pas associative

Mais j'me souviens plus si elle associative ou pas

Bon apparemment j'avais dit dans un mail qu'elle est pas associative

Donc a priori c'est la non associativité qui ferait qu'on ne pourrait pas additionner les puissances

L'on peut se demander quelle est la racine carrée de (a ou b)

L'on sait que le carré d'un "nombre alternatif" est un réel

Donc peut être un nombre alternatif de niveau 2

((a ou b) ou (c ou d))^2 = ((a ou b) * (c ou d) ou (c ou d) * (a ou b)) = ((ad ou bc) ou (bc ou ad))

Mais en fait si ad = bc on obtient aussi un réel

Essayons avec un quadruple nombre alternatif

(a ou b ou c ou d)^2 = (ab ou bc ou cd ou da)

Il faudrait que ab = cd et bc = da

Plus exactement
ab = cd= e
bc = ad = f
b = e / a
c = f / b = af/e
d = e / c = e^2/af

Ce qui donne
ad = f = e^2/f

Autrement dit f^2 = e^2

Soit f = ± e

Prenons f = 1 et e =-1

Ou l'inverse

Cela nous donnerait
b = 1 / a
c =-a
d =-1/a

Vérifions

(1 ou 1 ou-1 ou-1) ^2 = (1 ou-1 ou 1 ou-1) = (1 ou-1)

Prenons a = 2

(2 ou 1/2 ou-2 ou-1/2)^2 = (1 ou-1 ou 1 ou-1) = (1 ou-1)